前置知识：
字典树：可以参考我的另一篇文章 算法学习笔记(15): Trie（字典树）
KMP：可以参考 KMP - Ricky2007，但是不理解KMP算法并不会对这个算法的理解产生影响。
AC自动机是一种著名的多模式匹配算法。
可以完成类似于KMP算法的工作，但是由单字符串的匹配变成了多字符串的匹配。
一般来说，会有很多子串，和一个母串。问题常是求字串在母串中的出现情况（包括位置，次数，等等）
我在Trie树一文中提到过这样一句话
而AC自动机的核心就在于通过对Trie树进行处理，使得在处理母串的信息时可以快速的进行状态转移。
可以类比KMP的算法流程，但是这不重要
例如子串有 aa, ab, abc, b。母串为 ababcba。
由于我们是通过母串进行状态转移，所以需要先把所有字串的信息搞定
我们可以先处理子串，建一棵Trie树
明显，对于一个字串的匹配，是不可能在树上一路到底的，所以要构建匹配失败时的回退机制。也就是需要构建失配指针。
那么失配指针是干什么的？也就是用来在 Trie 树上向上跳，找到可以转移的一个节点，进行状态转移。
假如我现在在3号节点，并且我下一个需要转移的状态是 b，很明显，我此时应该回退到1节点（其上第一个可以通过 b 转移的节点）并转移到4节点。如果再来一个 b，也只能向上走到0号节点，然后转移到2号节点。
如此看来，我们完全可以暴力向上跳找到可转移的状态或者到达根为止。但是，这明显不够优秀，我们完全可以继承其子节点的。也就是继承 fail 的子节点。使得不需要暴力向上跳。
那说了半天，fail 到底指向啥？
假设父节点到当前节点转移的状态为 x，父节点之上第一个可以通过 x 转移到下一个节点的节点为 u，则 fail 指向 u 通过 x 转移过后的节点。
其实还有另一种解释的方法
fail指向p代表当前串的最长已知后缀。例如
aa的最长已知后缀为a，所以 3号节点的fail指向 1号节点；abc的最长已知后缀为空，所以5号节点的fail指向根节点。
好混乱，我尽力了……
那么核心代码……就是利用 BFS 来处理
void procFail(int * q) {
int head(0), tail(0);
for (int i(0); i < 26; ++i) {
if (kids[0][i]) q[tail++] = kids[0][i];
}
while (head ^ tail) {
int x = q[head++];
for (int i(0); i < 26; ++i) {
if (kids[x][i]) {
fail[kids[x][i]] = kids[fail[x]][i];
q[tail++] = kids[x][i];
} else kids[x][i] = kids[fail[x]][i];
}
} // procFail end
}
注意事项：一般来说，把 0 号作为根节点会比较方便。反正 0 上不可能有信息保存。
插入部分我就不需要讲了
如何判断当前状态有没有匹配任何一个字串，只需要不断向上跳 fail，看跳到的节点是不是代表着字串。
拿模板：【模板】AC 自动机（简单版） - 洛谷 为例。
插入的时候在最后标记一下有没有匹配：
void insert(string &s) {
int p(0);
for (int c : s) {
if (!kids[p][(c -= 'a')]) kids[p][c] = ++usage;
p = kids[p][c];
}
++cnt[p];
}
在匹配的时候暴力跳就是了：
int ACMatch(string & s) {
int p(0), ans(0);
for (int c : s) {
p = kids[p][(c -= 'a')];
for (int t(p); t && ~cnt[t]; t = fail[t]) {
ans += cnt[t], cnt[t] = -1;
}
}
return ans;
}
由于每一个串只能匹配一次，所以这里采用的清空的策略。并且标记清空，以免重复搜索。
就拿模板题来说吧：【模板】AC 自动机（二次加强版） - 洛谷
他是要求所有字串的出现情况。
那么，我们先把每一个到达的状态计数。再通过 fail 指针向上跳求和。
但毕竟不能每一个节点都暴力跳，所以考虑在 fail 树上求和。
但是，我们不是有一个 q 来 BFS 吗？其中的 fail 是有序的：对于一个节点 x，其 fail 一定在 x 之前被遍历到。
所以我们直接使用 q 即可。
那么合起来大概也就是这样：
inline void ACMatch(string &s) {
int p(0);
for (char c : s) {
p = kids[p][c - 'a'];
++cnt[p];
}
}
inline void ACCount(int * q) {
for (int i = usage; i; --i) {
cnt[fail[q[i]]] += cnt[q[i]];
}
}
但是每一个特定的字串出现的次数呢？
在插入时记住字串对应的节点，输出即可。
void insert(string &s, int i) {
int p(0);
for (int c : s) {
if (!kids[p][(c -= 'a')]) kids[p][c] = newNode();
p = kids[p][c];
}
pos[i] = p;
}
inline void ACOutput(int n) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cout << cnt[pos[i]] << '\n';
}
}
有这么一道题：
很明显，对于每一个位置，我们需要清理能匹配到的最长长度，所以我们需要预处理出最长长度：
inline void ACprepare(int * q) {
for (int i = 1; i <= usage; ++i) {
len[q[i]] = max(len[q[i]], len[fail[q[i]]]);
}
}
在清理时：
inline void ACclean(string &s) {
int p(0);
for (unsigned i(0), ie = s.size(); i < ie; ++i) {
p = kids[p][discrete(s[i])];
if (len[p]) for (unsigned j = i - len[p] + 1; j <= i; ++j)
s[j] = '*';
}
}
由于是引用的字符串，所以可以直接修改。
在我们考试的时候有这么一道题：
这道题说难也难，说不难也不难。主要是看对于 AC自动机 状态转移的理解到不到位。
在匹配过程中，如果匹配到了出现的 w，那么就要回到 len(w) 个状态前，继续匹配下一个字符。
很明显，需要用栈，并且由于需要一次弹出多个，所以最好用手写的栈。
核心代码如下：
string sub, pat;
cin >> sub >> pat;
insert(sub), procFail(Q);
int p = 0;
for (int i(0), ie = pat.size(); i < ie; ++i) {
p = kids[cps[ci]][pat[i] - 'a'];
cps[++ci] = p, ccs[ci] = pat[i];
if (match[p]) ci -= sub.size();
}
for (int i = 1; i <= ci; ++i) {
putchar(ccs[i]);
}
这里没有用到
fail，那么为什么还要构建失配树？这是个好问题，因为，构建失配树的过程不仅仅构建了失配树，同时还令节点继承了其
fail的子节点，所以需要构建的过程。
这道题其实完全可以用 KMP 做，但是显然的，用 AC 自动机做可以做到多匹配串的删除，其实也就变成了上一题和本题的融合，这是 KMP 无法完成的。
最后附上模板题【模板】AC 自动机（二次加强版） - 洛谷的代码：云剪贴板 - 洛谷
在串 \(S\) 与 \(T\) 匹配的时候，一般会有两个问题：出现没有？出现了多少次？
而这两个问题换一换主语又可以产生新的问题，谁在谁中出现？
假定 \(S\) 为给定的一些串构成的序列：
多次查某个 \(T\) 在其中某个区间有多少包含它（不重复计算）。
多次查某个 \(T\) 在其中某个区间出现的次数。
多次查某个 \(T\) 在其中某个区间它包含了哪些（不重复计算）。
多次查某个 \(T\) 在其中某个区间出现的在它中的次数。
好吧，自然而然的转化为差分，也就是 \(T\) 在 \(S\) 的 \([1, r]\) 中的出现情况。
对于第一问，考虑 \(T\) 在什么时候被包含，也就是存在某个 \(S\) 的某个节点的 \(fail\) 可以跳到它。
自然的，想到在原树上将 \(S\) 一个一个加进去（在失配树上单点加），最终在失配树上求一个子树和。这容易利用树状数组维护。
但是发现这其实是第二问的答案，考虑如何不重复的计算。
此时考虑一个差分，将加入的结点按照 dfs 序排序，然后在两两 LCA 处 -1 即可做到全不重不漏覆盖。
至于正确性可以考虑虚树，此处不展开。
那么对于后面两个问题，\(T\) 包含的也就是其原树上通过失配树可以跳到的一些点。
发现一个串对它有贡献，那么这个串的末尾一定是 \(T\) 某点在失配树上的祖先，那么此时查询 \(T\) 原树路径点在失配树到根的贡献和即可。这也容易利用树状数组维护。
如果是不重复的，也可以小小的考虑一个差分，与上面同理。
但是注意到这个复杂度是 \(O(|T|)\) 的，在多次询问的时候非常不友好。
但是一般来说，存在 \(\sum |T| \le L\) 的限制（不然连读入都困难），所以此时可以小小的考虑根号分治的做法。
对于长度 \(\le \sqrt L\) 的串，完全可以暴力扫，对于长度 \(\gt \sqrt L\) 的串，它最多只有 \(\sqrt L\) 个，所以完全支持 \(O(\sum |S|)\) 的预处理它，也就是将每一个所有串重新插入 AC 自动机中，然后利用失配树 \(O(|T|)\) 的做一次求出每一个串对它的贡献，那么最后维护一下区间和即可。
这其实就是 【模板】AC 自动机（二次加强版） - 洛谷。
如果是不重复的话，也就是 【模板】AC 自动机（简单版） - 洛谷。
对于多次询问，\(\sum |S| \le L\)，然而看到总长小于定值，你会想到？
那么这自然而然的带来的就是根号分治。
对于一些稍微难一点的东西，很可能会用到这个性质，但是我声称其仁者见仁智者见智。或许根本也不会遇到……
单个串的时候其实完全可以使用 KMP，并且你会发现 KMP 在单串可扩展性更强，因为其不依赖于字符集的大小，也就是说可以扩展到实数集，而不是单纯的字符，这是 AC 自动机所不能拥有的优势。
但是并不意味这 AC 自动机就无法做到扩展字符集的行为。如果能够支持 \(O(\log n)\) 的代价，那么完全可以利用 map 之类的结构维护其子节点。
这基于失配树是一颗树的性质，也就是失配指针只会指向一个，这与 KMP 是相似的。
但是在预处理时需要注意，不存在的节点不能指向失配点的子节点，否则时空复杂度都是不正确的。在使用的时候判断一下即可。