摘要：本文主要为大家讲解基于模型的元学习中的Learning to Learn优化策略和Meta-Learner LSTM。
本文分享自华为云社区《深度学习应用篇-元学习[16]：基于模型的元学习-Learning to Learn优化策略、Meta-Learner LSTM》，作者：汀丶 。
Learning to Learn by Gradient Descent by Gradient Descent
提出了一种全新的优化策略，
用 LSTM 替代传统优化方法学习一个针对特定任务的优化器。
在机器学习中，通常把优化目标 f(θ) 表示成
其中，参数 θ 的优化方式为
上式是一种针对特定问题类别的、人为设定的更新规则，
常见于深度学习中，主要解决高维、非凸优化问题。
根据 No Free Lunch Theorems for Optimization 理论，
[1] 提出了一种 基于学习的更新策略 代替 人为设定的更新策略，即，用一个可学习的梯度更新规则，替代人为设计的梯度更新规则。
其中，
optimizer 为 g 由 ϕ 参数化；
optimizee 为 ff 由 θθ 参数化。
此时， optimizee 的参数更新方式为
optimizer g 的更新则由 ff, ∇f 及 ϕ 决定。
图1是 Learning to Learn 中 optimizer 和 optimizee 的工作原理。
图1 Learning to Learn 中 optimizer 和 optimizee 工作原理。
optimizer 为 optimizee 提供更新策略，
optimizee 将损失信息反馈给 optimizer，协助 optimizer 更新。
给定目标函数 ff 的分布，那么经过 TT 次优化的 optimizer 的损失定义为整个优化过程损失的加权和：
其中，
ωt∈R≥0 是各个优化时刻的任意权重，
∇t=∇θf(θt) 。
图2是 Learning to Learn 计算图。
图1 Learning to Learn 计算图。
梯度只沿实线传递，不沿虚线传递（因为 optimizee 的梯度不依赖于 optimizer 的参数，即 ∂∇t/∂ϕ=0 ），这样可以避免计算 ff 的二阶导。
[1] 中 optimizer 选用了 LSTM 。
从 LSTM 优化器的设计来看，
几乎没有加入任何先验的人为经验。
优化器本身的参数 ϕ 即 LSTM 的参数，
这个优化器的参数代表了更新策略。
LSTM 需要优化的参数相对较多。
因此，[1] 设计了一个优化器 mm，它可以对目标函数的每个参数分量进行操作。
具体而言，每次只对 optimizee 的一个参数分量 θi 进行优化，
这样只需要维持一个很小的 optimizer 就可以完成工作。
对于每个参数分量 θi ，
optimizer 的参数 ϕ 共享，隐层状态 hihi 不共享。
由于每个维度上的 optimizer 输入的 hi 和 ∇f(θi) 是不同的，
所以即使它们的 ϕ 相同，它们的输出也不一样。
这样设计的 LSTM 变相实现了优化与维度无关，
这与 RMSprop 和 ADAM 的优化方式类似（为每个维度的参数施行同样的梯度更新规则）。
图3是 LSTM 优化器的一步更新过程。
图3 LSTM 优化器的一步更新过程。所有 LSTM 的 ϕ 共享，hi 不共享。
由于 optimizer 的输入是梯度，梯度的幅值变化相对较大，而神经网络一般只对小范围的输入输出鲁棒，因此在实践中需要对 LSTM 的输入输出进行处理。
[1] 采用如下的方式：
其中， p>0 为任意一个参数（[1] 取 p=10），用来裁剪梯度。
如果第一个参数的取值大于 −1−1 ，
那么它就代表梯度的 log ，第二个参数则是它的符号。
如果第一个参数的取值等于 −1−1 ，
那么它将作为一个标记指引神经网络寻找第二个参数，此时第二个参数就是对梯度的缩放。
[1] Learning to Learn by Gradient Descent by Gradient Descent
元学习在处理 few-shot 问题时的学习机制如下：
基于小样本的梯度下降存在以下问题：
因此，元学习可以为基于小样本的梯度下降提供一种提高模型泛化性能的策略。
Meta-Learner LSTM 使用单元状态表示 Learner 参数的更新。
训练 Meta-Learner 既能发现一个良好的 Learner 初始化参数，
又能将 Learner 的参数更新到一个给定的小训练集，以完成一些新任务。
一般的梯度下降更新规则
其中，θt 是第 t 次迭代更新时的参数值，αt 是第 t 次迭代更新时的学习率，∇θt−1Lt 是损失函数在 θt−1 处的梯度值。
LSTM 单元状态更新规则
其中，ct 是 t 时刻的细胞状态，]ft∈[0,1] 是遗忘门，it∈[0,1] 是输入门。
当 ft=1, ct−1=θt−1, it=αt, c~t=−∇θt−1Lt 时，Eq. (1)=Eq. (2)Eq. (1)=Eq. (2)。
经过这样的替换，利用 LSTM 的状态更新替换学习器参数 θ。
Meta-Learner 的目标是学习 LSTM 的更新规则，并将其应用于更新 Learner 的参数上。
(1) 输入门
\begin{align} i_{t}=\sigma\left({W}_{I} \cdot\left[\nabla_{\theta_{t-1}} L_{t}, L_{t}, {\theta}_{t-1}, i_{t-1}\right]+{b}_{I}\right) \end{align}
其中，W 是权重矩阵；b 是偏差向量；σ 是 Sigmoid 函数；Eq. (1)=Eq. (2)Eq. (1)=Eq. (2)和 Lt 由 Learner 输入 Meta-Learner。
对于输入门参数 it ，它的作用相当于学习率 α ，
在此学习率是一个关于∇θt−1Lt ， Lt ，θt−1 ，it−1 的函数。
(2) 遗忘门
\begin{align} f_{t}=\sigma\left(W_{F} \cdot\left[\nabla_{\theta_{t-1}} L_{t}, L_{t}, \theta_{t-1}, f_{t-1}\right]+b_{F}\right) \end{align}
对于遗忘门参数 ft ，它代表着 θt−1 所占的权重，这里将其固定为 1 ，但 1 不一定是它的最优值。
(3) 将学习单元初始状态 c0 视为 Meta-Learner 的一个参数，
正对应于 learner 的参数初始值。
这样当来一个新任务时， Meta-Learner 能给出一个较好的初始化值，从而进行快速学习。
(4) 参数共享
为了避免 Meta-Learner 发生参数爆炸，在 Learner 梯度的每一个 coordinate 上进行参数共享。
每一个 coordinate 都有自己的单元状态，但是所有 coordinate 在 LSTM 上的参数都是一样的。
每一个 coordinate 就相当于 Learner 中的每一层，
即对于相同一层的参数 θi ，
它们的更新规则是一样的，即WI ，bI ，WI ，bI 是相同的。
将 LSTM 单元状态更新过程作为随机梯度下降法的近似，实现 Meta-Learner 对 Leraner 参数更新的指导。
(1) 候选单元状态： c~t=−∇θt−1Lt，是 Meta-Learner 从 Leraner 得到的损失函数梯度值，直接输入 Meta-Learner ，作为 t 时刻的候选单元状态。
(2) 上一时刻的单元状态：ct−1=θt−1，是 Learner 用第 t−1 个批次训练数据更新后的参数。每个批次的数据训练完后，Leraner 将损失函数值和损失函数梯度值输入 Meta-Learner，Meta-Learner 更新一次参数，将更新后的参数回馈给 Leraner，Leraner 继续处理下一个批次的训练数据。
(3) 更新的单元状态：ct=θt，是 Learner 用第 t 个批次训练数据更新后的参数。
(4) 输出门：不考虑。
(5) 初始单元状态：c0=θ，是 Learner 最早的参数初始值。LSTM 模型需要找到最好的初始细胞状态，使得每轮更新后的参数初始值更好地反映任务的共性，在 Learner 上只需要少量更新，就可以达到不错的精度。
Meta-Learner LSTM 前向传递计算如图1所示，其中，
基学习器 MM，包含可训练参数 θ；元学习器 RR，包含可训练参数 ΘΘ。
图1 Meta-Learner LSTM 前向传递计算图。 Learner 计算损失函数值和损失函数梯度值， Meta-Learner 使用 Learner 提供的信息，更新 Learner 中的参数和自身参数。 在任务中，每个批次的训练数据处理完成后，Meta-Learner 为 Learner 更新一次参数， 任务中所有批次的训练数据处理完成后，Meta-Learner 进行一次更新。
Meta-Learner LSTM 算法流程
Meta-Learner LSTM 是一个两层的 LSTM 网络，第一层是正常的 LSTM 模型，第二层是近似随机梯度的 LSTM 模型。
所有的损失函数值和损失函数梯度值经过预处理，输入第一层 LSTM 中，
计算学习率和遗忘门等参数，损失函数梯度值还要输入第二层 LSTM 中用于参数更新。
表1 Meta-Learner LSTM 在 miniImageNet 上的分类结果。
[1] Optimization as a Model for Few-Shot Learning
[2] 长短时记忆网络 LSTM
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