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大家好，我是小彭。
今天分享到计算机科学中一个基础又非常重要的概念 —— 递归。递归是计算机中特有的概念，你很难在现实世界中找到一个恰当的例子与之关联起来。因此，对于很多初学编程的人，一开始会很难理解。
那么，究竟什么是递归，我们为什么要使用递归？我们今天就围绕这两个问题展开。
学习路线图：
递归（Recursion）是一种通过 “函数自己调用自己” 的方式，将问题重复地分解为同类子问题，并最终解决问题的编程技巧。
举个例子，要求一个数 $n$ 的阶乘 $n! = n(n-1)(n-2)…2*1$ ，有 2 种思考问题的思路：
求 n!
从这个例子可以看出， 递归其实是在重复地做 2 件事：
看到这里你会不会产生一个疑问： 我们直接从问题边界 $1!$ 一层层自底向上组合结果也可以得到 $n!$ 的解，自顶向下拆分问题的过程显得没有必要。确实，对于对于这种原问题与子问题只是 “线性” 地减少一个问题规模的情况，确实是这样。但是对于很多稍微复杂一些的问题，原问题与子问题会构成一个树型的 “非线性” 结构，这个时候就适合用递归解决，很难用递推解决。
举个例子， 求斐波那契数列，这个问题同时也是 LeetCode 上的一道典型例题：LeetCode · 509. 斐波那契数：该数列从 $1$ 开始，每一项数字都是前面两项数字的和。
LeetCode 例题
虽然，我们可以利用递推的方式从 $F(0)$ 和 $F(1)$ 自底向上推导出 $F(n)$ 的解，但是这种非线性的方式在编程语言中很难实现，而使用递归的方式自顶向下地解决问题，在编码上是很容易实现的。
当然，这段代码中存在非常多的重复计算，最终使得整个算法的时间复杂度达到惊人的指数级 $O(2^n)$。例如在计算 $F(5)=F(3)+F(4)$ 和 $F(6)=F(4)+F(5)$ 的时候，$F(4)$ 就被重复计算 2 次，这种重复计算完全相同的子问题的情况就叫 重叠子问题 ，以后我们再专门讨论。
用递归解决斐波那契数列
用递归解决（无优化）
class Solution {
fun fib(N: Int): Int {
if(N == 0){
return 0
}
if(N == 1){
return 1
}
// 拆分问题 + 组合结果
return fib(N - 1) + fib(N - 2)
}
}
n < 0 等；fun func(n){
// 1. 判断是否处于异常条件
if(/* 异常条件 */){
return
}
// 2. 判断是否满足终止条件（问题边界）
if(/* 终止条件 */){
return result
}
// 3. 拆分问题
result1 = func(n1)
result2 = func(n2)
...
// 4. 组合结果
return combine(result1, result2, ...)
}
递归程序在解决子问题之后，需要沿着拆分问题的路径一层层地原路返回结果，并且后拆分的子问题应该先解决。这个逻辑与栈 “后进先出” 的逻辑完全吻合：
事实上，这种出栈和入栈的逻辑，在编程语言中是天然支持的，不需要程序员实现。程序员只需要维护拆分问题和组合问题的逻辑，一次函数自调用和返回的过程就是一次隐式的函数出栈入栈过程。在程序运行时，内存空间中会存在一块维护函数调用的区域，称为 函数调用栈 ，函数的调用与返回过程，就天然对应着一次子问题入栈和出栈的过程：
我们在分析递归算法的空间复杂度时，也必须将隐式的函数调用栈考虑在内。
递归（Recursion）和迭代（Iteration）都是编程语言中重复执行某一段逻辑的语法。
语法上的区别在于：
核心区别在于解决问题的思路不同：
例如， 在计算 n! 的问题中，递推或迭代的思路是从 1! 开始重复乘以更大的数，最终获得原问题 n! 的解；而递归的思路是将 n! 问题拆分为 (n-1)! 的问题，最终通过 (n-1)! 问题获得原问题 n! 的解。
再举个例子，面试中出现频率非常高的反转链表问题，同时也是 LeetCode 上的一道典型例题：LeetCode 206 · 反转链表。假设链表为 1 → 2 → 3 → 4 → ∅，我们想要把链表反转为 ∅ ← 1 ← 2 ←3 ←4，用迭代和递归的思路是不同的：
这两个思路用示意图表示如下：
示意图
迭代题解
class Solution {
fun reverseList(head: ListNode?): ListNode? {
var cur: ListNode? = head
var prev: ListNode? = null
while (null != cur) {
val tmp = cur.next
cur.next = prev
prev = cur
cur = tmp
}
return prev
}
}
迭代解法复杂度分析：
递归题解
class Solution {
fun reverseList(head: ListNode?): ListNode? {
if(null == head || null == head.next){
return head
}
val newHead = reverseList(head.next)
head.next.next = head
head.next = null
return newHead
}
}
递归解法复杂度分析：
理论上认为迭代程序的运行效率会比递归程序更好，并且任何递归程序（不止是尾递归，尾递归只是消除起来相对容易）都可以通过一个栈转化为迭代程序。但是，这种消除递归的做法实际上是以牺牲程序可读性为代价换取的，一般不会为了运行效率而刻意消除递归。
不过，有一种特殊的递归可以被轻松地消除，一些编译器或运行时会自动完成消除工作，不需要程序员手动消除，也不会破坏代码的可读性。
在编程语言中，尾调用是指在一个函数的最后返回另一个函数的调用结果。如果尾调用最后调用的是当前函数本身，就是尾递归。为什么我们要专门定义这种特殊的递归形式呢？因为尾递归也是尾调用，而在大多数编程语言中，尾调用可以被轻松地消除 ，这使得程序可以模拟递归的逻辑而又不损失性能，这叫 尾递归优化 / 尾递归消除 。例如，以下 2 段代码实现的功能是相同的，前者是尾递归，而后者是迭代。
尾递归
fun printList(itr : Iterator<*>){
if(!itr.hasNext()) {
return
}
println(itr.next())
// 尾递归
printList(itr)
}
迭代
fun printList(itr : Iterator<*>){
while(true) {
if(!itr.hasNext()) {
return
}
println(itr.next())
}
}
可以看到，使用一个 while 循环和若干变量消除就可以轻松消除尾递归。
到这里，相信你已经对递归的含义以及递归的强大之处有所了解。 递归是计算机科学中特有的解决问题的思路：先通过自顶向下拆分问题，再自底向上组合结果来解决问题。这个思路在编程语言中可以用函数自调用和返回实现，因此递归在编程实现中会显得非常简洁。 正如图灵奖获得者尼克劳斯·维尔特所说：“递归的强大之处在于它允许用户用有限的语句描述无限的对象。因此，在计算机科学中，递归可以被用来描述无限步的运算，尽管描述运算的程序是有限的。”
另外，你会发现 “先拆分问题再合并结果” 的思想与 “分治思想” 相同，那么你认为递归和分治是等价的吗？这个我们下回说。
发现一个 Google 的小彩蛋：在 Google 搜索里搜索 “递归”，提示词里会显示 “您是不是要找：递归”。这就会产生递归的效果的，因为点击提示词 “递归” 后，还是会递归地显示 “您是不是要找：递归”。哈哈，应该是 Google 跟程序员开的小玩笑。
参考资料