LeetCode 双周赛 104(2023/05/13)流水的动态规划,铁打的结构化思考

leetcode,双周,流水,动态,规划,铁打,结构化,思考 · 浏览次数 : 182

小编点评

**1. 暴力枚举** * 首先,我们枚举所有子集,并计算每个子集的力量值。 * 由于子集数量很大,因此时间复杂度为 $O(n·2^n)$。 * 然而,我们可以通过一些技术优化该算法,例如使用一些数据结构来减少子集的枚举数量。 **2. 动态规划** * 我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。 * 我们可以维护每个元素左侧元素的贡献度 s,并通过 s 来计算当前元素新增的所有子集的力量值。 * 时间复杂度为 O(1),而空间复杂度为 O(n)。 **3. 最小值贡献** * 由于子集问题可以被视为一种动态规划问题,我们可以利用动态规划的思路来解决该问题。 * 我们可以维护每个元素左侧元素的贡献度 s,并通过 s 来计算当前元素新增的所有子集的力量值。 * 最小值贡献的计算方式与最大值贡献相同,因此我们可以使用与最大值计算相同的算法来计算最小值。

正文

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T1. 老人的数目(Easy)

  • 标签:模拟、计数

T2. 矩阵中的和(Medium)

  • 标签:模拟、排序

T3. 最大或值(Medium)

  • 标签:动态规划、前后缀分解、贪心

T4. 英雄的力量(Hard)

  • 标签:排序、贪心、动态规划、数学


T1. 老人的数目(Easy)

https://leetcode.cn/problems/number-of-senior-citizens/

简单模拟题,直接截取年龄字符后计数即可:

class Solution {
    fun countSeniors(details: Array<String>): Int {
        return details.count { it.substring(11, 13).toInt() > 60 }
    }
}

除了将字符串转为整数再比较外,还可以直接比较子串与 “60” 的字典序:

class Solution {
    fun countSeniors(details: Array<String>): Int {
        return details.count { it.substring(11, 13) > "60" }
    }
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:$O(n)$ 其中 n 为 details 数组的长度;
  • 空间复杂度:$O(1)$ 仅使用常量级别空间。

T2. 矩阵中的和(Medium)

https://leetcode.cn/problems/sum-in-a-matrix/

简单模拟题。

先对每一行排序,再取每一列的最大值。

class Solution {
    fun matrixSum(nums: Array<IntArray>): Int {
        var ret = 0
        for (row in nums) {
            row.sort()
        }
        for (j in 0 until nums[0].size) {
            var mx = 0
            for (i in 0 until nums.size) {
                mx = Math.max(mx, nums[i][j])
            }
            ret += mx
        }
        return ret
    }
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:$O(nmlgm + nm)$ 其中 n 和 m 分别为矩阵的行数和列数,排序时间 $O(nmlgm)$,扫描时间 $O(nm)$;
  • 空间复杂度:$O(lgm)$ 排序递归栈空间。

T3. 最大或值(Medium)

https://leetcode.cn/problems/maximum-or/

题目描述

给你一个下标从 0 开始长度为 n 的整数数组 nums 和一个整数 k 。每一次操作中,你可以选择一个数并将它乘 2 。

你最多可以进行 k 次操作,请你返回 **nums[0] | nums[1] | ... | nums[n - 1] 的最大值。

a | b 表示两个整数 a 和 b 的 按位或 运算。

示例 1:

输入:nums = [12,9], k = 1
输出:30
解释:如果我们对下标为 1 的元素进行操作,新的数组为 [12,18] 。此时得到最优答案为 12 和 18 的按位或运算的结果,也就是 30 。

示例 2:

输入:nums = [8,1,2], k = 2
输出:35
解释:如果我们对下标 0 处的元素进行操作,得到新数组 [32,1,2] 。此时得到最优答案为 32|1|2 = 35 。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 109
  • 1 <= k <= 15

问题结构化

1、概括问题目标

计算可以获得的最大或值。

2、分析问题要件

在每次操作中,可以从数组中选择一个数乘以 2,亦相当于向左位移 1 位。

3、观察问题数据

  • 数据量:问题数据量上界为 $10^5$,要求算法时间复杂度低于 $O(n^2)$;
  • 数据大小:元素值的上界为 $10^9$,操作次数 k 的上界为 15(这个性质有什么用呢?);
  • 输出结果:以长整型 Long 的形式返回结果。

4、观察测试用例

以示例 1 nums=[12, 9], k = 1 为例,最优答案是对 9 乘以 2,说明操作最大值并不一定能获得最大或值。

5、提高抽象程度

  • 权重:二进制位越高的位对数字大小的影响越大,因此我们应该尽量让高位的二进制位置为 1;
  • 是否为决策问题?由于每次操作有多种位置选择,因此这是一个决策问题。

6、具体化解决手段

  • 1、贪心:结合「数据大小」分析,由于操作次数 k 的上界为 15 次,无论如何位移都不会溢出 Long。因此,我们可以将 k 次位移操作作用在同一个数字上,尽可能让高位的位置置为 1;
  • 2、动态规划(背包):假设已经计算出数组前 i - 1 个元素能够组成的最大或值,那么考虑拼接 nums[i],可以选择不操作 nums[i],也可以选择在 nums[i] 上操作 x 次,那么问题就变成「前 i - 1 个元素中操作 k - x 次的最大或值」与「num[i] 操作 x 次的或值」合并的或值。「前 i - 1 个元素中操作 k - x 次的最大或值」这是一个与原问题相似但规模更小的子问题,可以用动态规划解决,更具体地可以用背包问题模型解决。

题解一(贪心 + 前后缀分解)

枚举所有数字并向左位移 k 次,计算所有方案的最优解:

class Solution {
    fun maximumOr(nums: IntArray, k: Int): Long {
        val n = nums.size
        // 前后缀分解
        val pre = IntArray(n + 1)
        val suf = IntArray(n + 1)
        for (i in 1 .. n) {
            pre[i] = pre[i - 1] or nums[i - 1]
        }
        for (i in n - 1 downTo 0) {
            suf[i] = suf[i + 1] or nums[i]
        }
        var ret = 0L
        for (i in nums.indices) {
            ret = Math.max(ret, (1L * nums[i] shl k) or pre[i].toLong() or suf[i + 1].toLong())
        }
        return ret
    }
}

由于每个方案都需要枚举前后 n - 1 个数字的或值,因此这是一个 $O(n^2)$ 的解法,会超出时间限制。我们可以采用空间换时间的策略,预先计算出每个位置(不包含)的前后缀的或值,这个技巧就是「前后缀分解」。

在实现细节上,我们可以把其中一个前缀放在扫描的时候处理。

class Solution {
    fun maximumOr(nums: IntArray, k: Int): Long {
        val n = nums.size
        // 前后缀分解
        val suf = IntArray(n + 1)
        for (i in n - 1 downTo 0) {
            suf[i] = suf[i + 1] or nums[i]
        }
        var ret = 0L
        var pre = 0L
        for (i in nums.indices) {
            ret = Math.max(ret, pre or (1L * nums[i] shl k) or suf[i + 1].toLong())
            pre = pre or nums[i].toLong()
        }
        return ret
    }
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:$O(n)$ 其中 n 为 nums 数组的长度;
  • 空间复杂度:$O(n)$ 后缀或值数组长度空间。

题解二(动态规划)

使用背包问题模型时,定义 dp[i][j] 表示在前 i 个元素上操作 k 次可以获得的最大或值,则有:

  • 状态转移方程:$dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i - 1][j - x] | (nums[i] << x)}$
  • 终止条件:$dp[n][k]$
 class Solution {
    fun maximumOr(nums: IntArray, k: Int): Long {
        val n = nums.size
        // 以 i 为止,且移动 k 次的最大或值
        val dp = Array(n + 1) { LongArray(k + 1) }
        for (i in 1 .. n) {
            for (j in 0 .. k) {
                for (m in 0 .. j) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - m] or (1L * nums[i - 1] shl m) /* 移动 m 次 */)
                }
            }
        }
        return dp[n][k]
    }
}

另外,这个背包问题可以取消物品维度来优化空间:

class Solution {
    fun maximumOr(nums: IntArray, k: Int): Long {
        val n = nums.size
        // 以 i 为止,且移动 k 次的最大或值
        val dp = LongArray(k + 1)
        for (i in 1 .. n) {
            // 逆序
            for (j in k downTo 0) {
                for (m in 0 .. j) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - m] or (1L * nums[i - 1] shl m) /* 移动 m 次 */)
                }
            }
        }
        return dp[k]
    }
}
  • 时间复杂度:$O(n·k^2)$ 其中 n 为 nums 数组的长度;
  • 空间复杂度:$O(k)$ DP 数组空间

相似题目:


T4. 英雄的力量(Hard)

https://leetcode.cn/problems/power-of-heroes/

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ,它表示英雄的能力值。如果我们选出一部分英雄,这组英雄的 力量 定义为:

  • i0 ,i1 ,... ik 表示这组英雄在数组中的下标。那么这组英雄的力量为 max(nums[i0],nums[i1] ... nums[ik])2 * min(nums[i0],nums[i1] ... nums[ik]) 。

请你返回所有可能的 非空 英雄组的 力量 之和。由于答案可能非常大,请你将结果对 109 + 7 取余。

示例 1:

输入:nums = [2,1,4]
输出:141
解释:
第 1 组:[2] 的力量为 22 * 2 = 8 。
第 2 组:[1] 的力量为 12 * 1 = 1 。
第 3 组:[4] 的力量为 42 * 4 = 64 。
第 4 组:[2,1] 的力量为 22 * 1 = 4 。
第 5 组:[2,4] 的力量为 42 * 2 = 32 。
第 6 组:[1,4] 的力量为 42 * 1 = 16 。
第 7 组:[2,1,4] 的力量为 42 * 1 = 16 。
所有英雄组的力量之和为 8 + 1 + 64 + 4 + 32 + 16 + 16 = 141 。

示例 2:

输入:nums = [1,1,1]
输出:7
解释:总共有 7 个英雄组,每一组的力量都是 1 。所以所有英雄组的力量之和为 7 。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 109

问题结构化

1、概括问题目标

计算所有组合方案的「力量」总和。

2、分析问题要件

枚举所有子集,计算子集的力量值计算公式为$「最大值^2*最小值」$。

3、观察问题数据

  • 数据量:问题数据量上界为 $10^5$,要求算法时间复杂度低于 $O(n^2)$;
  • 数据大小:元素值的上界为 $10^9$,乘法运算会溢出整型上界,需要考虑大数问题。

4、观察问题测试用例:

以数组 nums=[1, 2, 3] 为例:

  • 分析小规模问题:[] 空集的力量值是 0,只包含 1 个元素子集的力量值计算也没有问题;
子集 最大值 最小值 力量值
{} 0 0 0
1 1 $1^2*1$
2 2 $2^2*2$
3 3 $3^2*3$
  • 分析规模为 2 的子集问题:
子集 最大值 最小值 力量值
2 1 $2^2*1$
3 1 $3^2*1$
3 2 $3^2*2$
  • 分析规模为 3 的子集问题:
子集 最大值 最小值 力量值
3 1 $3^2*1$

5、如何解决问题

  • 手段 1(暴力枚举):如果枚举所有子集,再求每个子集的力量值,那么时间复杂度会达到非常高的 $O(n·2^n)$,其中有 $2^n$ 种子集(一共有 n 个数字,每个数字有选和不选两种状态),每个子集花费 $O(n)$ 线性扫描最大值和最小值。

至此,问题陷入瓶颈,解决方法是重复以上步骤,枚举掌握的数据结构、算法和技巧寻找思路,突破口在于从另一个角度来理解问题规模(动态规划的思路)。

6、继续观察问题测试用例

同样以数组 nums = [1, 2, 3] 为例:

  • 考虑空集的力量值问题:
子集 最大值 最小值
{} 0 0
  • 考虑到「1」为止的力量值问题:
子集 最大值 最小值
{} 0 0
1 1
  • 考虑到「2」为止的力量值问题:
子集 最大值 最小值
{} 0 0
1 1
2 2
2 1
  • 考虑到「3」为止的力量值问题:
子集 最大值 最小值
{} 0 0
1 1
2 2
2 1
3 3
3 1
3 2
3 1

这又说明了什么呢?

  • 关键点 1 - 递推地构造子集:

我们发现子集问题可以用递推地方式构造,当我们增加考虑一个新元素时,其实是将已有子集复制一份后,再复制的子集里添加元素。例如我们在考虑「2」时,是将 {} 和 {1} 复制一份后添加再添加元素「2」。

  • 关键点 2 - 最大值的贡献:

由于我们是从小到大增加元素,所以复制后新子集中的最大值一定等于当前元素,那么问题的关键就在「如何计算这些新子集的最小值」。

  • 关键点 3 - 最小值的贡献:

由于我们采用子集复制的方式理解子集构造问题,容易发现数字越早出现,最小值出现次数越大(哆啦 A 梦的翻倍药水)。

例如最初最小值为 1 的子集个数为 1 次,在处理「2」后最小值为 1 的子集个数为 2 次,因此在处理「3」时,就会累加 2 次以 1 为最小值的力量值:$2(3^21)$。同理会累加 1 次以 2 为最小值的力量值:$1(32*2)$,另外还要累加从空集转移而来的 {3}。

至此,问题的解决办法逐渐清晰。

7、解决问题的新手段

  • 手段 2(动态规划):

考虑有 a, b, c, d, e 五个数,按顺序从小到大排列,且从小到大枚举。

当枚举到 d 时,复制增加的新子集包括:

  • 以 a 为最小值的子集有 4 个:累加力量值 $4(d^2a)$
  • 以 b 为最小值的子集有 2 个:累加力量值 $2(d^2b)$
  • 以 c 为最小值的子集有 1 个:累加力量值 $1(d^2c)$

另外还有以 d 本身为最小值的子集 1 个:累加力量值 $1(d^2d)$,将 d 左侧元素对结果的贡献即为 s,则有 $pow(d) = d^2*(s + d)$。

继续枚举到 e 是,复制增加的新子集包括:

  • 以 a 为最小值的子集有 8 个:累加力量值 $8(e^2a)$
  • 以 b 为最小值的子集有 4 个:累加力量值 $4(e^2b)$
  • 以 c 为最小值的子集有 2 个:累加力量值 $2(e^2c)$
  • 以 d 为最小值的子集有 1个:累加力量值 $1(e^2d)$

另外还有以 e 本身为最小值的子集 1 个:累加力量值 $1(e^2e)$,将 e 左侧元素对结果的贡献即为 s`,则有 $pow(e) = e^2*(s` + e)$。

观察 s 和 s` 的关系:

$s = 4a + 2b + 1*c$

$s = 8a + 4b + 2c + d = s2 + d$

这说明,我们可以维护每个元素左侧元素的贡献度 s,并通过 s 来计算当前元素新增的所有子集的力量值,并且时间复杂度只需要 O(1)!

[4,3,2,1]
 1 1 2 4
追加 5:
[5,4,3,2,1]
 1 1 2 4 8

题解(动态规划)

根据问题分析得出的递归公式,使用递推模拟即可,先不考虑大数问题:

class Solution {
    fun sumOfPower(nums: IntArray): Int {
        var ret = 0L
        // 排序
        nums.sort()
        // 影响因子
        var s = 0L
        for (x in nums) {
            ret += (x * x) * (s + x)
            s = s * 2 + x
        }
        return ret.toInt()
    }
}

再考虑大数问题:

class Solution {
    fun sumOfPower(nums: IntArray): Int {
        val MOD = 1000000007
        var ret = 0L
        // 排序
        nums.sort()
        // 影响因子
        var s = 0L
        for (x in nums) {
            ret = (ret + (1L * x * x % MOD) * (s + x)) % MOD // x*x 也可能溢出
            s = (s * 2 + x) % MOD
        }
        return ret.toInt()
    }
}

实战中我用的是先计算最大影响因子,再累减的写法:

class Solution {
    fun sumOfPower(nums: IntArray): Int {
        val MOD = 1000000007
        var ret = 0L
        val n = nums.size
        // 排序
        nums.sortDescending()
        // 影响因子
        var s = 0L
        var p = 1L
        for (i in 1 until n) {
            s = (s + nums[i] * p) % MOD 
            p = (2 * p) % MOD
        }
        // 枚举子集
        for (i in 0 until n) {
            val x = nums[i]
            ret = (ret + x * x % MOD * (s + x)) % MOD
            if (i < n - 1) {
                s = (s - nums[i + 1]) % MOD
                if (s and 1L != 0L) {
                    s += MOD // 奇数除 2 会丢失精度
                }
                s = (s / 2) % MOD
            }
        }
        return ret.toInt()
    }
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:$O(nlgn)$ 其中 n 为 nums 数组的长度,瓶颈在排序上,计算力量值部分时间复杂度为 O(n);
  • 空间复杂度:$O(lgn)$ 排序递归栈空间。

往期回顾

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