正文

以此题为例：P2249 【深基13.例1】查找

二分查找

对于一个单调不降的序列 \(S\)，传统查找的复杂度是 \(O(|S|)\)，即 \(O(n)\). 有时候序列 \(S\) 中的元素特别多，或者你希望尽量减小复杂度，那么，有没有复杂度更低的方法呢？ 理论上是不行的，因为读入的复杂度已经达到O(n)，而且大多数时候我们还需要 O(n·logn) 的复杂度对序列排序

然而实际上（比如例题），有时候我们需要查找很多次，读入时复杂度是 \(O(n + m)\)，然而查找时复杂度就成了 \(O(nm)\)，这时就有可能超时。是否有其他的算法可以降低复杂度呢？

当然是有的。我们可以使用 STL 里的 lower_bound 或 upper_bound. 还记得你是怎么在英语词典里查单词的吗？字典中的单词是按照“字典序”进行排序的（类似例题中的单调不降）。如果我们要找一个单词，就要将字典从中间翻开，然后将这面单词跟想要找的单词比较。如果这面单词在需要寻找的单词之前，就将字典往后翻，否则就往前翻，直到找到准确的单词为止。（这句话与推广部分第一句皆引用自洛谷）

我们可以使用类似的方式进行查找，即二分查找。二分查找时，先判断序列 \(S\) 最中间的元素 \(S_{\frac{|S|}{2}}\) 与查找的元素之间的大小关系，由于序列是单调不减的，因此我们可以依据刚刚判断得到的关系进一步对序列 \(S\) 一半的区间继续使用相同的方式查询，直到得出结果为止

二分查找的实现

只需要按我刚才讲解的进行模拟即可，注意该序列可能存在重复元素，如果待查找元素在该序列存在多个，千万不要使用 while 循环往前一个一个推，我们继续二分即可，否则复杂度会退化，极端情况可能退化至 \(O(\frac {n \cdot m} {2})\) 仍然可能超时。

继续二分的策略的缺点是将复杂度锁死在 \(O(m \cdot logn)\)，但这个方式已经将算法的时间复杂度拉得够低了，足够过例题了。具体代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6+5;

int a[N];

int n, m, x;

int find() {
    int mid, l = 1, r = n, ans = -1;
	scanf("%d", &x);
	while(l <= r) {
		mid = (l + r) / 2;
		if (x < a[mid]) r = mid - 1;
		else if (x > a[mid]) l = mid + 1;
		else {
			r = mid - 1;
			ans = mid;
		}
	}
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d ", find());
    return 0;
}

使用递归实现二分

等一等，不停使用相同方式查询并缩小范围，有没有感觉很熟悉？没错，二分查找还可以使用递归实现，代码更加优美，更适合装B.

具体代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

const int N = 1e6 + 5;

int st[N];

int n, m;

int find(int ans, int num, int* arr, int l, int r) {
    if (l > r) return ans; int mid = l + (r - l) / 2;
    if (arr[mid] < num) return find(ans, num, arr, mid + 1, r);
    if (arr[mid] > num) return find(ans, num, arr, l, mid - 1);
    ans = mid; return find(ans, num, arr, l, mid - 1);
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &st[i]);
    for (int i = 1, tmp; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &tmp);
        printf("%d ", find(-1, tmp, st, 1, n));
    }
    return 0;
}

二分思想的推广

除了二分查找之外，二分思想还能求出可行解的最值问题，比如想知道某款手机最高能多少楼高度摔下来而不会摔坏，使用二分的方式可以用最小实验次数就能得到结果（当然你需要准备好几个样品），这种思想被称为二分答案。二分思想本身非常简单，大家只需要多练习，很快就可以掌握二分查找和二分答案。不说了，赶紧去刷题！