小编点评

这道题是一个典型的动态规划问题，可以使用动态规划的方法来解决。首先，我们需要定义一个二维数组`dp`来存储从起点到终点的所有可能路径的数量。其中，`dp[i][j][k]`表示从起点`i`到终点`j`，并且经过了`k`个点的路径数量。 接下来，我们可以按照以下步骤进行动态规划： 1. 初始化：对于所有的`i`和`j`，如果`i`和`j`相邻，则`dp[i][j][0] = 1`，否则`dp[i][j][0] = 0`。因为当`k=0`时，只有一种情况，即不经过任何点。 2. 对于任意的`i`，`j`和`k`（`k<=i+j-2`），我们有： - 如果`i`和`j`相邻，则`dp[i][j][k] = dp[i][j][k-1] + dp[i][邻居][k-1] + dp[邻居][j][k-1] - dp[i][邻居][j][k-1]`。这是因为我们要把`i`到`j`的路径分成两部分：一部分是从`i`到`邻居`，另一部分是从`邻居`到`j`，然后把这两部分的路径数量加起来，并减去同时经过`i`和`邻居`以及邻居和`j`的路径数量，以避免重复计算。 3. 最后，我们需要统计从起点到终点的所有可能路径的数量。这可以通过对所有`i`和`j`计算`dp[0][n-1][n^2-1]`来实现，其中`0`表示起点，`n-1`表示终点，`n^2-1`表示经过了`n^2`个点的状态。 这个算法的时间复杂度是`O(n^2 * 2^n)`，因为在转移过程中，我们需要计算大量的状态，而每个状态需要`O(2^n)$的空间来存储。因此，这个算法可能会TLE（Time Limit Exceeded）。 为了优化这个问题，我们可以尝试使用更高效的数据结构或算法来存储和计算状态。例如，我们可以使用位运算来存储状态，这样可以大大减少空间的需求。另外，我们也可以尝试使用更高效的动态规划算法，比如并行化或者分布式计算等。 至于鸽巢原理，它在这个问题中并没有直接的应用，因为我们并不是在寻找所有可能的路径，而是只需要找到至少一条可行的路径。因此，我们不需要使用鸽巢原理来限制算法的时间复杂度。 最后，关于代码实现，由于题目没有给出具体的代码要求，我们可以假设我们需要编写一个函数`has_path`，该函数接受起点`i`、终点`j`和经过的点数`k`作为输入，返回一个布尔值表示是否存在从起点`i`到终点`j`并且经过了`k`个点的路径。这个函数的实现将依赖于上面的动态规划算法。

正文

题目描述

有一张n个节点的无向图，对于所有 (i,j)，判断 i 和 j 之间是否存在哈密顿路径

1<=n<=24

哈密顿路径：经过每个点恰好一次

乐乐乐乐乐

考虑暴力：\(dp[i][j][st]\)表示从\(i\)开始到\(j\)的经过的点的状态\(st\)(\(st\)状压每一个点是否被经过)是否可行

转移时枚举一个\(k\)，类似Floyd,要求\(st\)的并只有\(k\)

复杂度:\(O(n^32^n)\)，轻轻松松TLE(乐)

奇妙性质：对于任意一点\(k\),哈密顿路径中\(i\)到\(j\)可以拆为\(k\)到\(i\)和\(k\)到\(j\)(如果存在这条路径，那么一定经过每一个点)

我们钦定\(1\)为\(k\)点,点对\((i,j)\)的路径相当于\((i,1)\)和\((1,k)\)两条路径拼接得到

设计新dp:\(dp[i][st]\)表示从1出发到\(j\)状态为\(st\)(\(st\)意义同上)是否可行

转移枚举下一个点即可

我们优化掉了一维，且\(st\)的状态少一半(不用压第一个点)

复杂度:\(O(n2^n)\)，依然爆炸

取不来小标题

发现dp仅存储可不可行，浪费了

我们再压dp:\(dp[st]\)状态为\(st\)(\(st\)意义同上的上),可以到的点的状压(dp状态、值虽然都是\(2^n\)状压，但意义不同)

这样就是\(O(n2^n)\)了

考虑统计答案

我们要统计\(n^2\)个点对\((i,j)\)是否可行

鸽了