小编点评

灰色预测是一种通过对时间相关灰色过程进行预测的方法。它通过建立微分方程模型，来探索事物未来发展趋势。在本章中，我们将简要介绍GM（1，1）模型的理论原理，以便初学者了解。 一、灰色系统 灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。这种系统的特点是，既包含已知信息，也包含未知信息，而且已知信息中包含未知信息。灰色预测主要研究这类系统的预测问题。 二、GM(1,1)灰色预测模型 GM(1,1)模型是一种常用的灰色预测模型，它的一阶微分方程可以描述为： x^(°)(k) + az^(1)(k) = b 其中，x^(°)(k)表示k时刻的原始数据，z^(1)(k)表示k时刻的紧邻均值，a和b是待求的参数。 1. 生成累加数据与紧临均值生成序列 首先，我们需要对原始数据序列进行累加处理，得到一个新的序列。然后，计算紧邻均值，并将其与累加数据序列相结合，形成新的序列。 2. 建立预测方程与参数估计 根据上述序列，我们可以建立GM(1,1)模型的预测方程，并求解参数a和b。 3. 转离散为连续，建立微分方程 将上述离散序列转换为连续序列，并建立对应的微分方程。 4. 求解微分方程 利用常微分方程的求解公式，我们可以得到一个带指数项的函数，从而得出GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合。 5. 准指数规律的检验 为了确保GM(1,1)模型的准确性，我们需要检验其准指数规律。定义级比，并通过一系列数学转换将级比转化为光滑比。当光滑比满足一定条件时，我们认为该模型具有准指数规律。 6. 发展系数与预测情形的探究 通过分析发展系数，我们可以了解模型的预测性能。此外，我们还可以通过实证研究，探讨GM(1,1)模型在不同情景下的预测效果。 7. GM(1,1)模型的评价 使用GM(1,1)模型对未来数据进行预测时，我们需要对其进行评价。一般采用残差检验和级比偏差检验两种方法。 8. GM(1,1)模型的拓展 在实际应用中，我们可以根据需要拓展GM(1,1)模型，例如引入其他约束条件，以提高预测准确性。 总结：灰色预测是一种有效的预测方法，通过对灰色系统进行分析，我们可以建立GM(1,1)模型来预测未来发展趋势。在实际应用中，我们需要注意模型的评价与拓展，以提高预测准确性。

正文

灰色预测是对时间有关的灰色过程进行预测。通过建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
由于笔者的水平不足，本章只是概括性地介绍GM（1，1）模型的理论原理，便于对初学者的初步理解

一、灰色系统

二、GM(1,1)灰色预测模型

GM(1,1)是使用原始的离散非负数据列，通过一次累加生成削弱随机性的较有规律的新的离散数据列，然后通过建立微分方程模型，得到在离散点处的解经过累减生成的原始数据的近似估计值，从而预测原始数据的后续发展。
（第一个‘1’表示微分方程是一阶的，后面的‘1’表示只有一个变量）

1.生成累加数据与紧临均值生成序列

2.建立预测方程与参数估计

我们称方程x(°)(k) + az(1)(k) =b为GM(1,1)模型的基本形式(k=2,3,…,n)其中，b表示灰作用量，-a表示发展系数。
之后，建立回归方程，估计出a_hat与b_hat

3.转离散为连续，建立微分方程

4.求解微分方程————GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合

由常微分方程的求解公式，我们最后得到的结果是一个带指数项的函数，因此我们可以得出结论：GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合

5.准指数规律的检验

数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。

(1)定义级比

当级比所在的区间长度<0.5，则称累加r次后的序列具有准指数规律。

(3)指标转换————将级比转化为光滑比

我们通过一系列的数学转换，将级比转化为另一个指标————光滑比。当光滑比ρ<0.5时，与级比长度<0.5等价

6.发展系数与预测情形的探究

7.GM(1,1)模型的评价

使用GM(1,1)模型对未来的数据进行预测时，我们需要先检验GM(1,1)模型对原数据的拟合程度(对原始数据还原的效果)。一般有两种检验方法:

（1）残差检验

（2）级比偏差检验

7.GM(1,1)模型的拓展

简单来说，（3）与（4）就是把预测出来的值作为原始值，进行下一步的预测

8.什么时候用灰色预测？