小编点评

Tarjan 算法是一种用于检测有向图中强连通分量的算法。强连通分量是指有向图中任意两点均可达的最大子图。Tarjan 算法通过深度优先搜索（DFS）来实现，并维护两个数组 dfn 和 low，分别表示每个节点的深度和最小深度。 1. 初始化：对每个节点，设置 dfn[u]=dfncnt=0，将节点 u 添加到栈 s 中，并设置 in_stack[u]=1。 2. 遍历节点的邻接表，对于每个未访问过的节点 v： - 如果 v 未被访问过，设置 low[v]=dfn[v]=++dfncnt，并将 v 添加到栈 s 中，设置 in_stack[v]=1。 - 如果 v 已经被访问过，但仍在栈 s 中，设置 low[u]=min(low[u], dfn[v])。 - 如果 v 已经被访问过，且不在栈 s 中，说明从祖先节点 x 到 v 形成了一个环，即存在一条返祖边。此时，将节点 u 添加到环中，并更新环的大小。 3. 回溯时，如果节点 u 满足 dfn[u]=low[u]，说明 u 是它所属连通块的最小节点。将栈中所有节点弹出栈，并更新它们所属的强连通分量编号。 4. 最后，输出每个强连通分量的大小。 通过 Tarjan 算法，我们可以找到有向图中的所有强连通分量，并计算它们的大小。

正文

重温Tarjan, 网上看了许多博客感觉都讲的不清楚. 故传上来自己的笔记, 希望帮到大家.

提到的一些概念可以参考 oi wiki, 代码也是 oi wiki 的, 因为我不认为我能写出比大佬更好的代码了.

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强连通分量: 有向图的最大强连通子图 ( 有向图中任意两点可达 )

• Tarjan

  1. 对每个结点维护:

     • dfn[x]: 当前节点的 dfs 序.

     • low[x]: x 向下搜索能到达的最小 dfs 序.

  2. 更新 low:

     1. v 未被访问过: 初始 low[v] = dfn[v].v 入栈. 回溯时用 low[v] 更新它的 fa 的 low[ ].

     2. v 被访问过, 且还在栈中: 用 dfs[v] 更新 fa 的 low.

     3. v 被访问过, 不在栈中: 说明这是一个 fa 到 v 的单向访问, 跳过.

  3. 获取答案:

     能让 dfn[x] > low[x], 只有当 X 的子树中某个节点 C 有\(\begin {cases}1.一条横向边连接到一棵已遍历过的子树~A\\2.一条返祖边连接到~X~的祖先~xfa \end{cases}\) .

     1. 横向边: 说明 A 没有连接到 C 的边, 否则在之前 C 就被遍历了, 轮不到 X 来遍历. 就用是否 C 在栈中来排除这个情况, 子树 A 中的所有强连通分量之前已经出栈过了( 看代码的实现 ).
     2. 返祖边: 说明 xfa -> x -> c -> xfa 形成环, 在同一个强连通子图( 我们知道, 强连通图是许多环嵌套成的 ). 而且这个子图的根是 xfa 满足 dfn[xfa] = low[xfa].

     此时栈中进来过三类节点 :

     \[\begin {cases}1.~在~x~的子树中\begin {cases}1.~属于上述~xfa~循环的,~在同一个强连通子图.\\2.~不在同一个强连通子图,~那递归的讲,~在之前就因为属于某个~xfa'~(在~X~的子树中),而被踢出栈了.\end{cases}\\2. 不在~x~的子树中(即在已遍历过的子树中),~在栈中的位置一定在~x~的下面. \end{cases} \]

     故, 回溯时若节点符合 dfn[x] = low[x], 说明当前节点是它所属连通块的最小节点. 栈里它之上所有点都是一个强连通块.

代码:

 const int Maxn = 1e5 + 10;
    
    int dfn[Maxn], low[Maxn], dfncnt, s[Maxn], in_stack[Maxn], tp;
    int scc[Maxn], sc;  // 结点 i 所在 SCC 的编号
    int sz[Maxn];       // 强连通 i 的大小
    
    void tarjan(int u) {
        low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u, in_stack[u] = 1;
        for (int i = head[u]; i; i = eg[i].nex) {
            const int &v = eg[i].to;
            if (!dfn[v]) {
                tarjan(v);
                low[u] = min(low[u], low[v]);
            } else if (in_stack[v]) {
                low[u] = min(low[u], dfn[v]);
            }
        }
        if (dfn[u] == low[u]) {
            ++sc;
            while (s[tp] != u) {
                scc[s[tp]] = sc;
                sz[sc]++;
                in_stack[s[tp]] = 0;
                --tp;
            }
            scc[s[tp]] = sc;
            sz[sc]++;
            in_stack[s[tp]] = 0;
            --tp;
        }
    }