AtCoder Beginner Contest 357

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小编点评

总结： A - Sanitize Hands 模拟外星人消毒双手的过程，计算可以给所有手消毒的外星人数。 B - Uppercase and Lowercase 给定一个由小写和大写英文字母组成的字符串，统计小写字母和大写字母的数量，根据比较结果转换字符。 C - Sierpinski Carpet 根据给定的非负整数K级地毯的尺寸K，按照题目描述的规则递推构造K级地毯。 D - 88888888 给定一个正整数N，求由N个恰好连接N次所组成的整数V_N除以998244353的余数。 E - Reachability in Functional Graph 计算从给定点出发可到达的其他点的数量。 F - Two Sequence Queries 维护序列A和序列B，根据不同的查询类型，计算各种信息并输出。

正文

ABC357总结

AtCoder Beginner Contest 357

A - Sanitize Hands

翻译

有一瓶消毒剂，正好可以消毒 \(M\) 双手。

\(N\) 名外星人陆续前来消毒双手。
\(i\) 个外星人（ \(1 \leq i \leq N\) ）有 \(H_i\) 只手，想把所有的手都消毒一次。

请计算有多少个外星人可以给所有的手消毒。
在这里，即使开始时没有足够的消毒剂给一个外星人的所有手消毒，他们也会用完剩余的消毒剂。

分析

直接模拟即可。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
int n,m,ans;
int h[N];
int main ()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        cin>>h[i];
        m-=h[i];
        if(m>=0) ans++;
        else m=0;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

B - Uppercase and Lowercase

翻译

给你一个由小写和大写英文字母组成的字符串 \(S\) 。 \(S\) 的长度是奇数。
如果 \(S\) 中大写字母的数量大于小写字母的数量，请将 \(S\) 中的所有小写字母转换为大写字母。
否则，将 \(S\) 中的所有大写字母转换为小写字母。

分析

依旧是模拟，先统计 \(S\) 中小写和大写字母的个数进行比较，再根据比较结果进行修改。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
string s;
int main ()
{
    cin>>s;
    int a=0,b=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        if(s[i]>='a'&&s[i]<='z') a++;
        else if(s[i]>='A'&&s[i]<='Z') b++;
    }
    int st=0;
    if(a>b) st=1;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        if(st)
        {
            if(s[i]>='A'&&s[i]<='Z') cout<<(char)(s[i]-'A'+'a');
            else cout<<s[i];            
        }
        else 
        {
            if(s[i]>='a'&&s[i]<='z') cout<<(char)(s[i]-'a'+'A');
            else cout<<s[i];
        }
    }
    return 0;
}

C - Sierpinski carpet

翻译

对于一个非负整数 \(K\) ，我们定义一个 \(K\) 级地毯如下：

  • \(0\) 级地毯是由一个黑色单元格组成的 \(1 \times 1\) 网格。
  • 对于 \(K>0\) 来说， \(K\) 级地毯是一个 \(3^K \times 3^K\) 网格。当这个网格被分成九个 \(3^{K-1} \times 3^{K-1}\) 块时：
    • 中央区块完全由白色单元格组成。
    • 其他八个区块是 \((K-1)\) 级地毯。

"#" 为黑色单元格，"." 为白色单元格。

给你一个非负整数 \(N\) 。
请按照指定格式打印 \(N\) 级地毯。

img

分析

根据题意，\(K\) 极地毯（\(K>1\)）都是可以由第 \(K-1\) 极地毯拼成的。
可以选择递推或递归来构造。
值得一提的是，不能直接打表，\(K\) 极地毯出现在程序中的话文件大小就超过限制了。
下面是递推的做法。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n;
char s[10][10]={{"###"},{"#.#"},{"###"}};
char a[N][N];
int main ()
{
    cin>>n;
    int m=1;
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            a[i][j]=s[i][j];
    for(int t=1;t<=n;t++)
    {
        m*=3;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++) 
                for(int k=0;k<m;k++)
                    a[i][k+j*m]=a[i][k];
        }
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int k=0;k<m;k++) a[i+m][k]=a[i][k];
            for(int k=0;k<m;k++) a[i+m][k+m]='.';
            for(int k=0;k<m;k++) a[i+m][k+2*m]=a[i][k];
        }
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++) 
                for(int k=0;k<m;k++)
                    a[i+2*m][k+j*m]=a[i][k];
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        for(int j=0;j<m;j++) cout<<a[i][j];
        cout<<"\n";
    }
    return 0;
}

D - 88888888

翻译

对于正整数 \(N\) ，设 \(V_N\) 是由 \(N\) 恰好连接 \(N\) 次所组成的整数。
更确切地说，把 \(N\) 看作一个字符串，连接它的 \(N\) 份，并把结果看作一个整数，得到 \(V_N\) 。
例如， \(V_3=333\) 和 \(V_{10}=10101010101010101010\) 。

求 \(V_N\) 除以 \(998244353\) 的余数。

分析

这是比较毒瘤的一道题了。

对于 \(n\)：

它总共有 \(k\) 位数字，设 \(m=10^k\)，可以发现，两个 \(n\) 拼起来就是 \(n+n*m\)。

\[V_n=n+n \times m+n \times m^2 + n \times m^3 + \dotsb + n \times m^{n-1} \]

显然，它是一个等比数列。
根据等比数列求和公式可知：

\[V_n=n+n \times m+n \times m^2 + \dotsb + n \times m^{n-1}=\frac{n(m^n-1)}{m-1} \]

分子部分可以直接用快速幂求解，而分母则需要用到逆元，模数是质数，可以直接用费马小定理求逆元。

复杂度是 \(log(n)\) 级别的。

其中需要注意的是，\(m\) 是可以直接取模后计算的，但是 \(n\) 会出现在指数上，不能先取模。
在指数上的 \(n\) 要取模应该模以模数 \(mod\) 的欧拉函数，也就是 \(mod-1\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll ret=1ll;
    while(y)
    {
        if(y&1) ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
string s;
ll n,m=1;
int main ()
{
    cin>>s;
    int len=s.size();
    for(int i=0;i<len;i++) n*=10,n+=s[i]-'0',m*=10,m%=mod;
    m%=mod;
    ll ans=n%mod;
    ans=(ans%mod*(qpow(m,n%(mod-1))-1))%mod;
    ans=(ans%mod*qpow(m-1,mod-2))%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}

E - Reachability in Functional Graph

翻译

有一个有向图，图中有 \(N\) 个顶点，编号为 \(1\) 至 \(N\) ，有 \(N\) 条边。
每个顶点的出度为 \(1\) ，顶点 \(i\) 的边指向顶点 \(a_i\) 。
计算有多少对顶点 \((u, v)\) 使得顶点 \(v\) 可以从顶点 \(u\) 出发到达。

这里，如果存在长度为 \(K+1\) 的顶点序列 \(w_0, w_1, \dots, w_K\) 且满足以下条件，则顶点 \(v\) 可以从顶点 \(u\) 到达。其中，如果 \(u = v\) 总是可达的。

  • \(w_0 = u\) .
  • \(w_K = v\) .
  • 每个 \(0 \leq i \lt K\) 都有一条从顶点 \(w_i\) 到顶点 \(w_{i+1}\) 的边。

分析

img

每个点出度都为 \(1\)，共有 \(n\) 条边，可以发现这个图是一个基环树，而且是内向树。

从某一个节点出发的路径中，必定是包含了一个环的，或者说每条路径都是以环结束的，且第一个到达的环的节点就是环的初始点。
对于一个环来说，环中的每一个节点能到达的只有环中的点，每个点对答案的贡献就是环的节点数。

设 \(f[x]\) 为从点 \(x\) 出发能到达的节点数量。
例如 \(f[1]=3\)，\(f[2]=3\)，\(f[3]=3\)。

而在环外部的点，它必然能且只能到达一个环。从环的起始点开始往回走，依次统计节点贡献，每次加上自己。
例如 \(f[4]=f[1]+1\)，\(f[5]=f[4]+1\)。

也就是说，首先要找到环，将环内部节点的 \(f\) 初始化为环的节点数。再进行统计，用记忆化搜索或者拓扑排序都是可以的。

因为一条路径必然以环结尾，可以选一条路一直走下去，沿途标记路径上的节点。碰到已经标记了的节点时，判断是不是当前路径的标记。如果不是，说明这条路结尾的环已经被处理过了；如果是，说明找到了环的初始点，此时需要再绕着环走一圈，统计环的节点数，再走一圈，将环初始化。

最后记忆化搜索，进行统计。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
typedef long long ll;
int n;
int a[N],f[N];
int vis[N];
int dfs(int u)
{
    if(f[u]) return f[u];
    return f[u]=dfs(a[u])+1;
}
int main ()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]) continue;
        int u=i;
        while(1)
        {
            if(vis[u])
            {
                if(vis[u]==i)
                {
                    int v=a[u],cnt=1;
                    while(v!=u)
                    {
                        cnt++;
                        v=a[v];
                    }          
                    f[u]=cnt;
                    v=a[u];
                    while(v!=u)
                    {
                        f[v]=cnt;
                        v=a[v];
                    }        
                }
                break;
            }
            vis[u]=i;
            u=a[u];
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=dfs(i);
    cout<<ans;
    return 0;
}

F - Two Sequence Queries

翻译

给你长度为 \(N\) 的序列 \(A=(A_1,A_2,\ldots,A_N)\) 和 \(B=(B_1,B_2,\ldots,B_N)\)
您还得到了 \(Q\) 个查询，需要按顺序处理。

查询有三种类型：

  • 1 l r x : 将 \(A_l, A_{l+1}, \ldots, A_r\) 中的每一个元素加上 \(x\)。
  • 2 l r x : 将 \(B_l, B_{l+1}, \ldots, B_r\) 中的每一个元素加上 \(x\)。
  • 3 l r : 输出 \(\displaystyle\sum_{i=l}^r (A_i\times B_i) \mod 998244353\)。

分析

一道明显的线段树，需要维护两个数组，处理两个懒标记。
需要维护的元素是：\(A\) 数组的和 \(x\)，\(B\) 数组的和 \(y\)，还有 \(v=\displaystyle\sum_{i=l}^r (A_i\times B_i)\)，其实都是和。

  • 当 \(A\) 中每个元素加上 \(k\)，\(x\) 就要加上 \(k \times len\)，\(len\) 为区间长度。\(y\) 不会被改变，而 \(v\) 改变后的 \(v'\)：

    \[v'=\displaystyle\sum_{i=l}^r (A_i+k)\times B_i=\displaystyle\sum_{i=l}^r A_i\times B_i+\displaystyle\sum_{i=l}^r k\times B_i=v+y \times k \]

  • 当 \(B\) 中每个元素加上 \(k\)，同理，\(y'=y+k \times len\)。\(x\) 不变。

    \[v'=v+x \times k \]

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5,mod=998244353;
int n,q;
ll v1[N],v2[N];
struct node
{
    int l,r;
    ll x,y;
    ll t1,t2;
    ll v;
}a[N<<2];
#define L a[u].l
#define R a[u].r 
#define lc (u<<1)
#define rc (u<<1|1) 
#define mid (L+R>>1) 
void pushup(int u)
{
    a[u].x=(a[lc].x+a[rc].x)%mod;
    a[u].y=(a[lc].y+a[rc].y)%mod;
    a[u].v=(a[lc].v+a[rc].v)%mod;
}
void make(int u,ll t1,ll t2)
{
    if(t1)
    {
        t1%=mod;
        a[u].x=(a[u].x+(t1%mod*(R-L+1))%mod)%mod;
        a[u].v=(a[u].v+(a[u].y*t1%mod))%mod;
    }
    if(t2)
    {
        t2%=mod;
        a[u].y=(a[u].y+(t2%mod*(R-L+1))%mod)%mod;
        a[u].v=(a[u].v+(a[u].x*t2%mod))%mod;
    }
    a[u].t1+=t1,a[u].t2+=t2;
    a[u].t1%=mod,a[u].t2%=mod;
}
void pushdown(int u)
{
    make(lc,a[u].t1,a[u].t2);
    make(rc,a[u].t1,a[u].t2);
    a[u].t1=a[u].t2=0;
}
void build(int u,int l,int r)
{
    L=l,R=r;
    if(l==r) a[u].x=v1[l]%mod,a[u].y=v2[l]%mod,a[u].v=((v1[l]%mod)*(v2[l]%mod))%mod;
    else 
    {
        build(lc,l,mid);
        build(rc,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}
void update1(int u,int l,int r,int x)
{
    if(l<=L&&R<=r) make(u,x,0);
    else 
    {
        pushdown(u);
        if(mid>=l) update1(lc,l,r,x);
        if(mid<r) update1(rc,l,r,x);
        pushup(u);
    }
}
void update2(int u,int l,int r,int x)
{
    if(l<=L&&R<=r) make(u,0,x);
    else 
    {
        pushdown(u);
        if(mid>=l) update2(lc,l,r,x);
        if(mid<r) update2(rc,l,r,x);
        pushup(u);
    }
}
ll query(int u,int l,int r)
{
    if(l<=L&&R<=r) return a[u].v%mod;
    else 
    {
        pushdown(u);
        ll ret=0;
        if(mid>=l) ret+=query(lc,l,r);
        if(mid<r) ret+=query(rc,l,r);
        return ret%mod;
    }
}
void dfs(int u)
{
    cout<<L<<" "<<R<<"\n";
    cout<<a[u].x<<" "<<a[u].y<<" "<<a[u].v<<"\n";
    cout<<a[u].t1<<" "<<a[u].t2<<"\n";
    cout<<"___________________\n";
    if(L==R) return ;
    dfs(lc),dfs(rc);
}
int main ()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v1[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v2[i];
    build(1,1,n);
    int op,l,r,x;
    while(q--)
    {
        // dfs(1);
        cin>>op>>l>>r;
        if(op==1) 
        {
            cin>>x;
            update1(1,l,r,x%mod);
        }
        else if(op==2)
        {
            cin>>x;
            update2(1,l,r,x%mod);
        }
        else cout<<query(1,l,r)<<"\n";
    }
    return 0;
}
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