小编点评

```java class Solution { public int fib(int N) { if (N <= 1) { return N; } int[] dp = new int[N + 1]; dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= N; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[N]; } } ``` **运行结果：** ``` [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55] ``` **与推导数列的结果对比：** ``` [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55] ``` **说明：** * `fib` 方法使用动态规划的递归解题。 * `fib` 方法的压缩版本使用循环和变量交换来实现相同的解题。 * `dp`数组存储了每个数字的斐波那契数值。 * 为了避免重复计算，`dp`数组中保存了以前计算的结果。

正文

509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

• 输入：2
• 输出：1
• 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

• 输入：3
• 输出：2
• 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

• 输入：4
• 输出：3
• 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

【思路】

练练手为主，就像之前讲过二叉树系列的递归三部曲 (opens new window)，回溯法系列的回溯三部曲 (opens new window)一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。

动态规划五部曲

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1、确定dp数组及其下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值为dp[i]

2、确定递推公式

dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

3、dp数组如何初始化

dp[0]=1;
dp[1]=1;

4、确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];可以看出，dp[i]是依赖于dp[i-1]和dp[i-2]的，那么遍历的顺序一定是从前往后来遍历的

5、举例推到di数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了,java代码如下：

//非压缩版本的写法
class Solution {
	public int fib(int N) {
		if (N <= 1) 
			return N;
		int[] dp = new int[N+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= N; i++) {
			dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
		}
		return dp[N];
	}
}
//压缩版本的写法
public int fib(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    }
	int a = 0, b = 1, c = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return c;
}

方法二、传统的递归法

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        } else {
            return fib(n-1) + fib(n-2);
        }
    }
}