小编点评

**What is Cartesian Product with Repetition?** The Cartesian product with repetition is a type of combination that involves two or more sets. It allows elements from each set to be selected and combined in any order, resulting in a vast set of possible combinations. **Example:** Let's consider two sets: - `{1, 2, 3}` - `{A, B, C}` The Cartesian product of these sets would be: ``` { 1AA, 1AB, 1AC, 1BA, 1CA, 1CB, 1CC, 2AA, 2AB, 2AC, 2BA, 2CA, 2CB, 2CC, 3AA, 3AB, 3AC, 3BA, 3CA } ``` **Key Features:** - Elements from each set can be selected and combined in any order. - The order of elements in the output does not matter. - The number of combinations is equal to the product of the number of elements in each set. - The time complexity of generating Cartesian product is exponential in the number of sets. **Applications:** - Text generation - Natural language processing - Data mining - System design **Code Demo:** ```java import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class Combination { public static void main(String[] args) { List list1 = new ArrayList<>(); list1.add("1"); list1.add("2"); list1.add("3"); List list2 = new ArrayList<>(); list2.add("A"); list2.add("B"); list2.add("C"); // Generate all possible combinations List combinations = generateCombinations(list1, list2.size(), ""); // Print all combinations System.out.println("All possible combinations:"); for (String combination : combinations) { System.out.println(combination); } } private static List generateCombinations(List list1, int length, String prefix) { // All possible combinations List combinations = new ArrayList<>(); // Base case: When the length is 0, return the empty combination if (length == 0) { combinations.add(prefix); return combinations; } // Iterate over the elements in list1 for (String element1 : list1) { // Append the current element to the prefix String newPrefix = prefix + element1; // Recursively generate combinations for the remaining elements combinations.addAll(generateCombinations(list1, length - 1, newPrefix)); } // Return the combinations return combinations; } } ```

正文

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What is Cartesian Product with Repetition

比如说有两个集合：
\(\{1, 2, 3\}\)
\(\{A, B, C\}\)

想把他们组合成所有可能组合，比如，
1AAA
1AAB
1AAC
...

这种组合可以称为"有重复的笛卡尔积"或"带重复的笛卡尔乘积"(Cartesian Product with Repetition)。

带重复的笛卡尔乘积(Cartesian Product with Repetition)具有以下特征:

• 涉及两个或多个集合：它是针对两个或更多个集合进行操作。在您的示例中,涉及两个集合{1, 2, 3}和{A, B, C}。

• 元素可以重复出现：与传统的笛卡尔积不同,在带重复的笛卡尔乘积中,同一个集合中的元素可以在生成的组合中多次出现。在您的示例中,第二个集合{A, B, C}中的元素可以在组合中重复出现,比如AAA、ABB等。

• 生成的组合长度固定：生成的组合的长度是事先确定的,等于参与集合的数量。在您的示例中,生成的组合长度为2,因为涉及两个集合。

• 组合的排列顺序不同视为不同组合：生成的组合中,元素的排列顺序不同就被视为不同的组合。例如,AB和BA是两个不同的组合。

• 组合数量呈指数级增长：随着参与集合的元素数量增加,生成的组合数量会呈指数级增长。如果有n个集合,每个集合有m个元素,那么生成的组合数量将是m^n。

总的来说,带重复的笛卡尔乘积是一种特殊的组合形式,它允许元素重复出现。

Code Demo

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Combination {
    public static void main(String[] args) {
        List<String> list1 = new ArrayList<>();
        list1.add("1");
        list1.add("2");
        list1.add("3");

        List<String> list2 = new ArrayList<>();
        list2.add("A");
        list2.add("B");
        list2.add("C");

        // 用于存储所有可能的组合
        List<String> combinations = new ArrayList<>();

        // 遍历第一个列表中的每个元素
        // 遍历list1中的每个元素,对于每个元素:
        //                      调用generateCombinations方法,将list2和list2的长度作为参数传递进去,并将生成的组合添加到combinations列表中。
        for (String item1 : list1) {
            // 对于每个元素,生成第二个列表中元素的所有可能组合,并添加到 combinations 列表中
            combinations.addAll(generateCombinations(list2, list2.size(), item1));
        }

        // 打印所有可能的组合
        System.out.println("所有可能的组合:");
        for (String combination : combinations) {
            System.out.println(combination);
        }
    }

    /**
     * 生成第二个列表中元素的所有可能组合
     *
     * @param list    第二个列表
     * @param length  要生成的组合长度
     * @param prefix  已经选择的元素前缀
     * @return 所有可能的组合
     */
    private static List<String> generateCombinations(List<String> list, int length, String prefix) {
        // 所有可能的组合 存储
        List<String> combinations = new ArrayList<>();

        // 如果要生成的组合长度为 0,说明已经生成了所有元素的组合
        if (length == 0) {
            // 将前缀添加到结果列表中并返回
            combinations.add(prefix);
            return combinations;
        }

        // 遍历第二个列表中的每个元素
        for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
            // 将当前元素追加到前缀中
            String newPrefix = prefix + list.get(i);
            // 递归调用 generateCombinations 方法,将 length 减 1,并将新的前缀作为参数传递进去
            combinations.addAll(generateCombinations(list, length - 1, newPrefix));
        }

        return combinations;
    }
}

out:

所有可能的组合:
1AAA
1AAB
1AAC
1ABA
1ABB
1ABC
1ACA
1ACB
1ACC
1BAA
1BAB
1BAC
1BBA
1BBB
1BBC
1BCA
1BCB
1BCC
1CAA
1CAB
1CAC
1CBA
1CBB
1CBC
1CCA
1CCB
1CCC
2AAA
2AAB
2AAC
2ABA
2ABB
2ABC
2ACA
2ACB
2ACC
2BAA
2BAB
2BAC
2BBA
2BBB
2BBC
2BCA
2BCB
2BCC
2CAA
2CAB
2CAC
2CBA
2CBB
2CBC
2CCA
2CCB
2CCC
3AAA
3AAB
3AAC
3ABA
3ABB
3ABC
3ACA
3ACB
3ACC
3BAA
3BAB
3BAC
3BBA
3BBB
3BBC
3BCA
3BCB
3BCC
3CAA
3CAB
3CAC
3CBA
3CBB
3CBC
3CCA
3CCB
3CCC