Proof. 先证充分性. 用定义写开 \(\lim_{k \to \infty} \{ x_{n_k} \} = a\)，就有 \[ (\forall \varepsilon > 0)(\exists K \in \mathbb N_+)(\forall k > K)(|x_{n_k} - a| < \varepsilon) \] 故确有无穷项 \(x_n\) 落在任意小的 \(U(a, \varepsilon)\) 中，即 \(a\) 是 \(\{ x_n \}\) 的一个聚点，该方向得证.

下证必要性. 已知 \(\{ x_n \}\) 有一聚点 \(a\). 我们按如下方法构造子列 \(\{ x_{n_k} \}\)：

1. 当 \(k=1\)，取 \(\varepsilon_1 = 1\)，因为 \(a\) 是 \(E\) 的一个聚点，\(\exists n_1 \in \mathbb N_+\)，\(|x_{n_1} - a| < \varepsilon\).
2. 当 \(k \geqslant 2\)，取 \(\varepsilon_k = \frac 1 k\)，因为 \(a\) 是 \(E\) 的一个聚点， \(\exists n_k > n_{k-1}\)，\(|x_{n_k} - a| < \varepsilon\).

这样，我们构造出 \(\{ x_n \}\) 的一个子列 \(\{ x_{n_k} \}\) 满足 \(|x_{n_k} - a| < \varepsilon_k = \frac 1 k\). 因此其收敛于 \(a\)，该方向得证.

Proof. 命题等价于用有限覆盖定理证明数列聚点定理. 用反证法. 假设一有界实数列 \(\{ x_n \}\) 不存在聚点，设其有上界 \(L\) 和下界 \(l\). 对任意 \(a \in [l,L]\)，它都不是 \(\{ x_n \}\) 的聚点，因此总存在一个 \(\varepsilon(a) > 0\)，使得只有有限个 \(x_n\) 落入 \(U(a, \varepsilon(x_0))\). 这样，构造开区间族 \[ \mathscr{F} = \{ U(a, \varepsilon(a)) \mid a \in [l,L] \} \] 它显然是闭区间 \([l,L]\) 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，只需取其中有限个开区间就可以覆盖住 \([l,L]\)，因此覆盖 \(\{ x_n \}\) 也只需要有限个开区间. 然而由前述构造，每一个开区间中也只包含有限个 \(x_n\)，因此数列 \(\{ x_n \}\) 只有有限项——这显然是荒谬的. 故 \(\{ x_n \}\) 必有聚点，原命题得证.

Proof. 不妨只证 \(\Omega\) 是闭区间这种最强的情况.

用反证法. 假设命题不成立，则对任意 \(\sigma > 0\)，都存在一个长度小于 \(\sigma\) 的闭区间 \(\Omega \subset [a,b]\)，它不被任何 \(\mathscr F\) 中的开区间包含. 因此，对所有自然数 \(n\)，可取 \(\sigma_n = \frac 1 n\)，按上述方法就可构造出一列闭区间 \[\{ \Omega_n \} = \{ [a_n, b_n] \} \subset [a,b]\] 其中每一个闭区间都不被任何 \(\mathscr F\) 中的开区间包含，且区间长度 \(|\Omega_n| < \sigma_n = \frac 1 n\)，即 \(\lim_{n \to \infty} |\Omega_n| = 0\).

因为 \(\Omega_n \subset [a,b]\)，\(\{ a_n \}\) 有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，其存在一收敛子列 \(\{ a_{n_k} \}\)，设其极限为 \(x_0\)，极限保序性表明 \(x_0 \in [a,b]\). 注意到 \(b_{n_k} = a_{n_k} + |\Omega_{n_k}|\)，两端取 \(k \to \infty\) 即得 \(\lim_{k \to \infty} b_{n_k} = x_0\). 综上，我们说明了 \(\{ \Omega_{n_k} \}\) 收缩于 \(x_0\).

但，因为 \(\mathscr F\) 是闭区间 \([a,b]\) 的一个开覆盖，故总存在一个开区间 \(I_{x_0} = (a_0, b_0) \in \mathscr F\) 使得 \(x_0 \in I_{x_0}\)，而 \(\{ \Omega_{n_k} \}\) 又收缩于 \(x_0\)，故存在 \(k \in \mathbb N\)，\(\Omega_{n_k} \subset I_{x_0} \in \mathscr F\)，这与我们构造 \(\{ \Omega_{n_k} \}\) 的方法矛盾. 故原命题成立.

Proof. 若 \(\sigma\) 是覆盖 \([a,b]\) 的开覆盖 \(\mathscr F\) 的勒贝格数，令 \(N = \lceil \frac{2(b-a)}{\sigma} \rceil\)，\(L = \frac {b-a}{N} \leqslant \frac \sigma 2 < \sigma\). 由 Lebesgue 覆盖定理，任意长度为 \(L\) 的 \([a,b]\) 内闭区间都包含于某个 \(\mathscr F\) 中的开区间. 因此对 \(n = 1,2,\dots,N\)，令 \(\Omega_n = \left[ a + (n-1)L, a + nL \right]\)，总存在一个 \(\mathscr F\) 中开区间 \(I_n\) 满足 \(\Omega_n \subset I_n\). 因为显然 \(\{ \Omega_n \}_{n=1}^N\) 是 \([a,b]\) 的一个覆盖，故 \(\{ I_n \}_{n=1}^N \subset \mathscr F\) 也是 \([a,b]\) 的覆盖. 这样，我们就成功构造出了一个 \(\mathscr F\) 的有限子覆盖 \(\{ I_n \}_{n=1}^N\)，命题得证.

Proof. Theorem 1 中，我们已经知道，一个数列的收敛子列的极限也是该数列的一个聚点. 结合上下极限的子列式定义即可证明上述定理.

Proof. 反证. 假设 \([l, L]\) 上有一点 \(a\) 不是任何 \(\{ x_n \}\) 的收敛子列的极限，则根据 Theorem 1，\(a\) 不是 \(\{ x_n \}\) 的聚点，即存在 \(a\) 的一个邻域 \(U(a,\varepsilon)\)，使得只有有限个 \(x_n\) 落入该邻域，换句话说，存在某个 \(N \in \mathbb N_+\)，当 \(n>N\) 时，就有 \(x_n \notin U(a,\varepsilon)\).

又，考虑到 Theorem 4 表明上下极限 \(L\) 和 \(l\) 都是 \(\{ x_n \}\) 的聚点，\(L,l \notin U(a,\varepsilon)\) 显然成立，且第 \(N\) 项后的 \(\{ x_n \}\) 完全由满足 \(x_n > a+\varepsilon\) 和 \(x_n < a-\varepsilon\) 的两种 \(x_n\) 构成，且它们均有无穷多项. 这样，对于任意的 \(M>N\)，总可以找到一个 \(m > M\) 使得 \(x_m\) 和 \(x_{m+1}\) 分属 \(U(a, \varepsilon)\) 的两侧，故 \(|x_m - x_{m+1}| \geqslant 2 \varepsilon\)，这就与条件 \(\lim_{n \to \infty}(x_{n+1} − x_n) = 0\) 产生矛盾. 故不存在这样的 \(a\)，定理得证.