学习&转载文章：多方安全计算(3)：MPC万能钥匙-混淆电路
我们在讲解不经意传输（Oblivious Transfer，OT）的文章（安全多方计算(1):不经意传输协议）中提到，利用n选1的不经意传输可以解决百万富翁问题（两位富翁Alice和Bob在不泄露自己真实财富的情况下比对出谁更有钱），过程如图1所示，具体过程不再展开描述。
图1 基于n选1的OT协议实现百万富翁问题
图1中的例子虽然解决了两位富翁在不泄露财富时的比对问题，但是如果遇到其他计算问题（如财富求和）时怎么解决？是否有一种通用的方法，可以在不泄露Alice和Bob原始数据的前提下，实现各种计算问题？本篇文章将向您揭晓答案，即基于混淆电路的MPC通用场景计算。
我们在安全多方计算系列的首篇文章（安全多方计算之前世今生）中提到，基于混淆电路（Garbled Circuit，GC）可以实现MPC通用场景计算。
混淆电路是双方进行安全计算的布尔电路。混淆电路将计算电路中的每个门都加密并打乱，确保加密计算的过程中不会对外泄露计算的原始数据和中间数据。双方根据各自的输入依次进行计算，解密方可得到最终的正确结果，但无法得到除了结果以外的其他信息，从而实现双方的安全计算。
以两方安全计算为例，假设参与方为Alice和Bob，则混淆电路执行过程分为四个步骤：
Step 1: Alice 将计算算法转为混淆电路
Step 2: Alice 和 Bob 进行通信
Step 3: Bob 解密收到的混淆电路
Step 4: 分享结果
每一步的执行细节，将在第三节中以经典的百万富翁问题为例进行详细介绍。
百万富翁问题可看作是安全两方的数值比较问题，本节将以数值比较计算方法为例，详述混淆电路执行过程中的四个步骤。
将可计算问题转化为混淆电路的前提，是得到数值比较算法的逻辑电路图。
假设有两个正整数\(x,y\)。转换为二进制后，\(x,y\)可分别表示为：
其中\(x_i,y_i\in (0,1)\)，当\(x>y\)时，\(x,y\)的比较过程可简化为：如果最高位\(x_n>y_n\)，直接认定\(x>y\)；否则，如果\(x_{n-1}…x_1>y_{n-1}…y_1\)，认定\(x>y\)，循环此过程直到最低位。
整个过程中，我们定义一个变量\(c_{i+1}\)：
不失一般性，可总结为\(c_{i+1}=1\)意味着：\((x_i>y_i)\)或($x_i=y_i $并且 \(c_i=1\))。这个总结等价于图2中的逻辑电路图：
同或（XNOR）：相同为真，不同为假。
图2 \(c_{i+1}\)表达式的等价逻辑电路
则对于正整数\(x,y\)来说，将\(n\)个图中的逻辑电路进行串联，即可组成完整的数值比较逻辑电路，其中\(c_1=0\)。完整电路如图3所示。
图3 完整的正整数比较逻辑电路图
（1）写出逻辑电路的真值表
Alice画出可计算问题的逻辑电路后，接下来需要生成整个电路的真值表。我们以整个电路中最下面的模块为例，为了方便理解，我们为每个门电路的输出做上标记，如图4所示。
图4 为模块中的所有门电路输出做标记
图4中标记可理解为：输入为\(x_1\)和\(y_1\)的“同或门”的输出为\(f\)；\(f\)与\(c_1\)是“与门”的输入，该门的输出为\(g\)等。图4中模块的门电路真值表如图5所示。
图5 将模块中每一个门电路表示为真值表
（2）以“同或门”为例将真值表转为混淆表
以图5中的“同或门”的真值表为例，讲解如何将真值表转为混淆表。真值表转为混淆表的过程可概括为3个步骤：
第1步：用随机字符串替换真值表中的0和1。
图中的“同或门”一共有3个标签（\(x_1、y_1、f\)），每一个标签有0或1这2个可能的值，因此我们需要用6个随机字符串，来代替3个标签的0\1，这一过程如图6所示。
图6 用随机字符串替换真值表中的0和1
第2步：对替换字符串后的表做加密处理。
加密处理过程如图7所示，加密后的表有4行，每行仅有1个密文数据。图中每一个密文数据均经过两次对称加密而来，其中\(E_y(f)\)表示以\(y\)为密钥，对明文数据\(f\)进行对称加密。
图7 对替换字符串后的表做加密处理
第3步：将加密表的数据排序按行随机置乱。
加密后的表有4行密文数据，如图8所示，将4行密文数据在加密表中所处的行随机置乱。
图8 对替换字符串后的表做加密处理
“将真值表转为混淆表”这一小节中的“字符串替换->加密->置乱”的过程，就是混淆电路的核心思想。
（3）以“同或门”为例对混淆电路进行解密
为了便于读者理解混淆电路的整个执行过程，先以前一小节的“同或门”混淆表为例，讲解另一参与方Bob如何对混淆电路进行解密。前一小节第3步中，Alice已完成了“同或门”混淆表的转换工作，\(x_1\)表示Alice的输入，\(y_1\)表示Bob的输入。混淆电路接下来的步骤如图9所示。
图9 Bob以“同或门”为例对混淆电路进行解密
此过程中，第4~6步展示的是Alice和Bob的通信过程。
第4步：Alice将“同或门”混淆表【加密表】发送给Bob。
第5步：Alice将自己真实输入所代表的字符串明文发送给Bob，Bob虽然拿到的是明文【与真值表对应的混淆值】，但是无法知道该明文字符串表示1还是0。
第6步：Alice与Bob利用不经意传输（OT）协议，将Bob真实输入所表示的两个字符串以密文【OT加密的】形式发送，Bob根据实际输入，正确解密【OT解密的】获得其中一条明文字符串。
Alice这边有\(k_{y_1}^1\)和\(k_{y_1}^0\)的加密值（OT加密的），Bob通过OT协议想获得\(k_{y_1}^1\)。
第7步：此时Bob已掌握两条明文字符串【即，\(k_{x_1}^0\)和\(k_{y_1}^1\)】。利用这两个明文字符串做密钥，分别尝试解密收到的“同或门”混淆表中的密文，其中仅有一条结果是正确的。
Bob如何知道哪条结果是正确的？
Alice对于“同或门”中\(f\)标签所表示的0\1明文字符串做加密处理时，可在明文前加128位的0。Bob强行解密完混淆表中的密文后，查看解密结果。如果解密出来的某个消息前面有128个0，就知道此条消息解密是正确的。
最后一步：分享结果。Bob将混淆表中获得的正确消息【混淆的字符串】拿出，Alice拿出\(f\)标签所表示的0\1明文字符串映射关系。Alice和Bob即可共同知道“同或门”电路的执行结果。
⚠️：请注意，混淆电路实际执行过程中，Bob并不会将中间某个门电路的解密结果告诉Alice，仅将整个混淆电路的最终结果告诉Alice。
在3.1.1小节画出数值比对算法的逻辑电路后，Alice列出整个逻辑电路中所有门电路真值表，对所有门电路真值表均按3.1.2小节中的“同或门”处理流程转换为混淆电路，Alice可得到整个数值比对算法的混淆电路。
① Alice将完整的混淆表发送给Bob。
② Alice将每个门电路中，需要用到的\(xi\)，每个\(xi\)真实输入（0\1）对应的字符串发送给Bob。（实现Alice真实输入值的隐藏）。
③ Alice将每个门电路中，需要用到的\(yi\)，每个\(yi\)所有可能输入（0\1）对应的字符串以OT协议形式发送给Bob。（OT协议实现Bob真实输入值的隐藏）。
① Bob利用获得的\(xi、yi、c1\)，层层强行解密每个相关门电路的输出结果字符串（每个门只能正确解密一个字符串，不给Alice看，实现中间计算结果隐藏）。
② Bob最终可得到整个混淆电路的最终输出结果\(c_{n+1}\)所表示的字符串\(result\)。
Bob将\(result\)给Alice看，Alice通过自己掌握的字符串对应表，看真实值0\1。如果为1，表示\(x>y\)；否则，表示\(x≤y\)。
功能：利用姚氏电路实现安全两方计算，Alice创建电路，Bob计算。
对于电路的构造，需要创建三个门电路数组：
电路表示形式：[unique gate ID, type of gate, [input0, input1]]
对于输入电路，[input0, input1]表示输入的序号
对于其他电路，[input0, input1]表示其门的ID
Circuit类对象的创建参数：
> from alice import *
> on_input_gates = [[0, "AND", [0, 1]],
> [1, "XOR", [2, 3]],
> [2, "OR", [0,3]]]
> mid_gates = [[3, "XOR", [0, 1]],
> [4, "OR", [1, 2]]]
> output_gates = [[5, "OR", [3, 4]]]
> mycirc = Circuit(4, on_input_gates, mid_gates, output_gates)
可以通过mycirc.poss_inputs实时查看电路的信息。
> mycirc.poss_inputs
[{0: b'4diGEaU1jdM3Pu-BJNSP9g7_QPc4ujAzGxl2BGoVG0M=', 1: b'wIXEEaM1S004rNrGEJDCxjtkLItla98ybjKE70ffGRU='}, {0: b'GfwHUAuJvWac23NGyT8aeoJbUWAB-yBcucuQhUt2jwg=', 1: b'BfBToX-S0Jqxb5wA1nhFHga-QILPsYzRMRbmuVHgNa8='}, {0: b'louVKwBH3BVABygcEjSd_oZboJBUUFVSoS67q_YLu9E=', 1: b'W6Lk0qWa7ly0QqxOMIrkrQQP-EXBIkC2NHgUWPn2qY8='}, {0: b'_acYcuVdFNjgmHUhDsKe7rTJbg_o2-MSuBv1gBE_lp4=', 1: b'H27Eo04R8_6S9xAMYFo8sxzn_VmJITg9-joTa1HNTzI='}, {0: b'2ihLVa48z4b6c-xI7D7dWPVRMO-XyewKcVTegn2xDPY=', 1: b'u50GeBJpyRbmFLQnFETQmbTgan5vQLYSTtCEBhHQu98='}]
这时就可以在Alice一端使用这些密钥计算电路，例如输入为：0, 1, 0, 1:
> my_input = [x[y] for x, y in zip(mycirc.poss_inputs, [0, 1, 0, 1])]
> my_input
[b'4diGEaU1jdM3Pu-BJNSP9g7_QPc4ujAzGxl2BGoVG0M=', b'BfBToX-S0Jqxb5wA1nhFHga-QILPsYzRMRbmuVHgNa8=', b'louVKwBH3BVABygcEjSd_oZboJBUUFVSoS67q_YLu9E=', b'H27Eo04R8_6S9xAMYFo8sxzn_VmJITg9-joTa1HNTzI=']
> mycirc.fire(my_input)
{5: b'\x01'}
可以看到，mycirc.fire返回的是一个字典，键对应的是输出门的ID（这里是5），（输出）值是编码后的一字节（这里为1）
然后将Circuit对象以字典的形式存储在json_data文件中。
然后Bob需要先加载json_data文件：
> from bob import *
> mycirc = Circuit(json_data)
这时得到一个Circuit对象，里面只有计算后的结果，并没有包含所有情况，Bob只得到了最后计算结果。
> input = [b'4diGEaU1jdM3Pu-BJNSP9g7_QPc4ujAzGxl2BGoVG0M=', b'BfBToX-S0Jqxb5wA1nhFHga-QILPsYzRMRbmuVHgNa8=', b'louVKwBH3BVABygcEjSd_oZboJBUUFVSoS67q_YLu9E=', b'H27Eo04R8_6S9xAMYFo8sxzn_VmJITg9-joTa1HNTzI=']
> mycirc.fire(input)
{5: b'\x01'}
因为Bob并不想让Alice知道他的输入信息，所以这里需要只用OT技术，参考的是t-out-of-n OT：Non-Interactive t-out-of-n Oblivious Transfer Based on the RSA Cryptosystem
ot.py提供了两个类：Alice和Bob：
> from ot import *
> from alice import keypair # we will use this to generate some example keys
> my_keypair = list(keypair().values())
> my_keypair
[b'tWiWGameWDMNOTUDRBM2FUWHkpPg9ZqWPM_e3bsvdqc=', b'5-x4_N0gwM_Hh0AYnSykYn2Ab4sCUw9iUzBVw9ZK8tw=']
> alice = Alice(my_keypair)
Alice对象调用setup，开始OT，通常将结果（公钥和hash(消息）写入alice_setup.json文件中：
> alice.setup()
Pubkey and hashes published.
创建一个Bob对象，参数为：Alice的消息个数，想要哪些消息，消息对应的ID，假设Bob想要获取Alice的第二个消息：
> from ot import *
> bob = Bob(2, 1, [1])
> bob.setup()
Polynomial published.
默认情况下，Bob.setup 从alice_setup.json文件中读取数据，然后写入信息到 bob_setup.json文件。
> alice.transmit()
G has been published.
待补充
本文讲解了如何通过混淆电路解决百万富翁问题。实际上，计算机所能处理的所有可计算问题都可以转换为逻辑电路，这也就意味着，利用混淆电路可以解决所有的安全多方计算问题：即在混淆电路帮助下，凡是能被逻辑电路表示的计算方法，都能在保证参与方数据机密性的前提下得到正确结果。因此本篇文章将混淆电路称为解决MPC的万能钥匙。
[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/138371497
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/138188677
[3] https://blog.csdn.net/qq_38798147/article/details/110727263
[4] https://blog.csdn.net/Matrix_element/article/details/117481369