浙大暑期密码学课程-笔记｜两方安全计算
多方安全计算（MPC）有着广泛的应用，本次课程将由来自浙江大学的张秉晟老师带来，主要讲解两方安全协议。
安全多方计算的定义千奇百怪，主要可分为通俗定义，狭义定义和广义定义：
安全多方计算可以分为通用安全多方计算和专用安全多方计算：
以下是衡量安全多方计算的三个维度，主要包括安全假设，安全保障和性能，其中安全假设一般注重同步网络中的半诚实敌手，下图介绍了三个维度中主要考量的要点。
接下来我们以计算一个与门电路为例子，引入两方安全计算，下图是本协议的示意图，主要问题是如何来定义该框架的安全性。
一般的设计思路可以分为自顶向下和自底向上，如下图所示，三个层次主要包括协议层，原语层和假设层。
一般设计协议是自顶向下（框架-》细节），教学采用自底向上，教学采用该方法可以易于让学生接受。
我们在上次课中提到了基于判定性DH的密钥交换协议和一次一密，我们知道一次一密是目前最安全的加密方案，判定性DH假设在密码学中广泛使用，下面三张图是前一次课程的概要。
下图是Elgamal加密的示意图，Elgamal是一种公钥加密方案，主要由初始化，密钥生成，加密和解密四个算法构成。
根据上次课程所讲，我们需要确定一个算法在什么假设下能够达到什么样的安全性，那么同理，我们需要考虑Elgamal在何种假设下可以达到什么样的安全性。
接下来下图定义了公钥加密中IND-CPA的安全性博弈定义。
Elgamal是IND-CPA安全的：
在安全计算中，我们希望能够在不知道私钥的情况下，对密文进行运算，运算的结果解密后和明文的运算结果保持一致，我们记为数据的延展性【同态？】。
同态加密解决了上述的问题，接下来我们简要讲解一下「Lifted Elgamal加密算法」。
Lifted Elgamal加密是满足加法同态性，并且只要消息空间范围不大，我们可以直接通过计算离散对数，得到最后的明文消息。
假设下面是一个两方计算模型，P1和P2分别输入a和b，P1得到最后的结果\(f(a,b)\)，如下图所示。
我们可以采用单边模拟（one-side simulation）的方式来证明该协议的安全性。
我们仍然采用之前的例子来讲解安全多方计算，即两个参与方，分别计算a和b的乘积，即a AND b，具体如下图所示。
下图是本协议的交互方式，主要是基于Lift Elgamal进行构造。
本方案的正确性显然能够满足，该方案的正确性主要基于Lift Elgamal的正确性，如下图所示。
下图主要描述了P1的隐私，即P2只能看到随机的密文，而得不到其他任何信息。
下图描述了P2的隐私，当然P2可能有部分信息泄漏（中间信息)，P1可以从P2交互的信息中得到额外隐私信息，所以我们需要对其进行修复。
下图是修复后的协议，在该协议中，通过选取一个随机值\(r'\)，可以实现P2的隐私保护，即P1得不到P2的输入相关信息。
下图所示是仅有两条消息【逐比特发送】构成的两方计算协议。
接下来的例子，将一个比特扩展到多个比特，实现了标量的乘法操作，如以下两张图所示。
下图是上述两方计算协议中，P1和P2的隐私性解释如下：
下面同时给出了第一个两方协议的扩展和在汉明重量计算中的应用：
下图是计算汉明重量的方法，协议和安全性，协议的安全性和之前所提的标量乘法的安全性相类似。
