1.Huffman树的构造
解析：给定n个权值作为n个叶子节点，构造一棵二叉树，若它的带权路径长度达到最小，则称这样的二叉树为最优二叉树，也称Huffman树。数的带权路径长度规定为所有叶子节点的带权路径长度之和。Huffman树构造，如下所示：
（1）将看成是有n颗树的森林；
（2）在森林中选出两个根节点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根节点权值为其左、右子树根节点权值之和；
（3）从森林中删除选取的两颗树，并将新树加入森林；
（4）重复（2）（3）步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求的Huffman树。
说明：利用Huffman树设计的二进制前缀编码，称为Huffman编码，它既能满足前缀编码条件，又能保证报文编码总长最短。
2.基于Hierarchical Softmax的模型（CBOW模型）
解析：
其中参数的物理意义，如下所示：
（1）
（2）表示路径中第结点对应的编码（根结点不对应编码）
（3）表示路径中第非叶子结点对应的向量
（4）表示从根结点出发到达对应叶子结点的路径。
（5）表示路径中包含结点的个数。
Hierarchical Softmax基本思想，如下所示：
对于word2vec中基于Hierarchical Softmax的CBOW模型，优化的目标函数，如下所示：
这样得到对数似然函数，如下所示：
将花括号中的内容简记为，如下所示：
使用随机梯度上升法对求偏导，如下所示：
的更新方程，如下所示：
使用随机梯度上升法对求偏导，如下所示：
对于词典中每个词的词向量更新方程，如下所示：
3.基于Hierarchical Softmax的模型（Skip-Gram模型）
解析：
其中，表示当前样本的中心词的词向量。
对于word2vec中基于Hierarchical Softmax的Skip-Gram模型，优化的目标函数，如下所示：
Skip-Gram模型中条件概率函数，如下所示：
这样得到对数似然函数，如下所示：
将花括号中的内容简记为，如下所示：
4.基于Negative Sampling的模型（CBOW模型）
Negative Sampling不再使用Huffman树，而是使用随机负采样，能大幅度提高性能。假定已经选好的负样本子集，定义词的标签[正样本为1，负样本为0]，如下所示：
对于给定的正样本，最大化，如下所示：
其中，表示中各词的词向量之和，表示词对应的一个辅助向量，为待训练的参数。简化方程，如下所示：
其中，表示当上下文为时，预测中心词为的概率，同样表示当上下文为时，预测中心词为的概率。 对于给定的语料库，目标函数如下所示：
记，使用随机梯度上升法对求偏导，如下所示：
参数的更新方程，如下所示：
使用随机梯度上升法对求偏导，如下所示：
参数的更新方程，如下所示：
5.基于Negative Sampling的模型（Skip-Gram模型）
对于给定的语料库，目标函数如下所示：
对每一个样本，需要针对中的每一个词进行负采样，但是word2vec源码中只是针对进行了次负采样。它本质上用的还是CBOW模型，只是将原来通过求和累加做整体用的上下文拆成一个一个来考虑。对于给定的语料库，目标函数如下所示：
记。使用随机梯度上升法，对求偏导，如下所示：
的更新方程，如下所示：
使用随机梯度上升法，对求偏导，如下所示：
参数的更新，如下所示：
其中，表示处理词时生成的负样本子集。
6.Negative Sampling算法
（1）带权采样原理
设词典中的每一个词对应一个线段，长度如下所示：
这里表示一个词在语料中出现的次数。现在将这些线段首尾相连地拼接在一起，形成一个长度为1的单位线段。如果随机地往这个单位线段上打点，那么其中长度越长的线段（对应高频词）被打中的概率就越大。
（2）word2vec负采样
记，，这里表示词典中第个词，则以为剖分结点可得到区间上的一个非等距剖分，为其个剖分区间。进一步引入区间上的一个等距离剖分，剖分结点为，其中，具体示意图如下所示：
将内部剖分结点投影到非等距剖分上，则可建立与区间（或）的映射关系，如下所示：
根据映射每次生成一个间的随机整数，就是一个样本。当对进行负采样时，如果采样为，那么就跳过去。
参考文献：
[1]word2vec中的数学原理详解