我们在博客《知识图谱实体对齐1：基于平移(translation)嵌入的方法》和博客《知识图谱实体对齐2：基于GNN嵌入的方法》中介绍的都是有监督的知识图谱对齐方法，它们都需要需要已经对齐好的实体做为种子（锚点），但是在实际场景下可能并没有那么多种子给我们使用。为了解决这个问题，有许多无监督/自监督的知识图谱对齐方法被提出。
首先我们来看一个基于GAN的方法[1]，虽然该方法是用于解决NLP中无监督跨语言词向量对齐操作的，但是我觉得在知识图谱领域也很有借鉴意义。
在最原始的有监督跨语言词向量的对齐任务中，给定已经对齐好的字典（锚点）\(\left\{x_i, y_i\right\}_{i=1}^n\)，我们需要找到一个线性变换\(W\)来将一个语言的embedding投影到另一个语言的embedding空间中：
其中\(d\)为embeddings维度，\(X, Y\in \mathbb{R}^{d\times n}\)为字典embeddings矩阵，\(M_d(\mathbb{R})\)为\(d\times d\)的实矩阵空间。源单词\(s\)的对应翻译单词定义为\(t=\operatorname{argmax}_t \cos \left(W x_s, y_t\right)\)。
这个优化问题在对\(W\)施以正交约束的情况下，可通过对\(YX^T\)进行奇异值分解来获得解析解：
事实上，若两个语言embedding空间的维度不相同，即\(x_i\in\mathbb{R}^{d_1}\)、\(y_i\in \mathbb{R}^{d_2}\)时，即\(W\in \mathbb{R^{d_2\times d_1}}\)不可逆时，亦可通过SGD来求数值解[2]，即求解以下优化问题：
以上是有对齐的字典的情况，对于没有字典的情况呢？我们可以先用GAN来学到一个\(W\)使得两个单词分布粗略地对齐，然后通过目前的\(W\)找一些高频单词在另一个向量空间中的最近邻，作为锚点，进行优化以获得更好的\(W\)。测试时，再通过最近邻搜索来得到单词在另一个向量空间中的翻译结果。文中的最近邻搜索采用CSLS（cross-domain similarity local scaling）作为距离度量。
整体算法流程如下图所示：
如上图所示，(A) 为两个不同的词向量分布，红色的英语单词由\(X\)表示，蓝色的意大利单词由\(Y\)表示，我们想要进行翻译/对齐（在意大利语里面，gatto意为“cat”，profondo意为“deep”，felino意为“feline”，“auto”意为“car”）。每一个点代表词向量空间中的一个单词，点的大小和单词在训练语料中出现的频率成正比。 (B) 意为通过对抗学习机制学习一个旋转矩阵\(W\)将两个分布大致地对齐。 (C) 使用一些高频单词及其映射后的最近邻做为锚点，来对映射\(W\)进一步调整。(D) 寻找单词在目标向量空间中的最近邻以完成翻译。
首先我们来看GAN是如何训练的。设\(\mathcal{X}=\{x_1,\cdots, x_n\}\)和\(\mathcal{Y}=\{y_1,\cdots, y_m\}\)分别为源语言和目标语言embeddings的集合。GAN的判别器需要区分从\(W\mathcal{X}=\{Wx_1,\cdots, Wx_n\}\)和\(\mathcal{Y}\)中随机采样的元素，而生成器（参数为\(W\)）要尽可能去阻止判别器做出正确的判断：
\( \mathcal{L}_D\left(\theta_D \mid W\right)=-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log P_{\theta_D}\left(\right.\text{source} \left.=1 \mid W x_i\right)-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \log P_{\theta_D}\left(\right. \text{source} \left.=0 \mid y_i\right)\)
\( \mathcal{L}_W\left(W \mid \theta_D\right)=-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log P_{\theta_D}\left(\right.\text{source }\left.=0 \mid W x_i\right)-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \log P_{\theta_D}\left(\right.\text{source}\left.=1 \mid y_i\right) \)
之后，我们从GAN初步训练得到的\(W\)来找到一些高频单词在另一个语言中的最近邻，把他们作为锚点，然后优化目标函数来获得更好的\(W\)。
注意，在GAN的优化过程中对\(W\)进行调整时，采用一种特殊的更新方法来使其有正交性（正交变换在欧氏空间中保范数，且使得训练过程更加稳定）：
其中经验表明\(\beta=0.01\)表现良好。
在\(W\)训练完毕后，对每个单词映射在其目标向量空间中做最近邻搜索。如果两个语言中的两个单词互为最近邻，则我们把他们加入字典，认为是高质量的翻译。
接下来我们看文中的最近邻搜索采用的距离度量方式。文中认为单词在配对过程中要尽量满足“双向奔赴”，防止某个单词是其它语言中很多单词最近邻的“海王”情况。文中将源单词\(x_s\)和目标单词\(y_t\)间的距离定义为:
这里\(r_T(Wx_s)\)为\(x_s\)和其目标向量空间中的\(K\)个邻居间的平均距离：
同理定义\(r_S(y_t)\)为\(y_t\)和其\(K\)个邻居间的平均距离。
如果一个单词和另一语言中的很多单词都很接近，那么\(r\)值就会很高。\(r\)可以视为一种惩罚，用于抑制了某些单词是很多单词最近邻的情况。
本文介绍了通过一种基于对比学习的方法[3]将来自不同知识图谱实体embeddings映射到一个统一的空间。首先，用对比学习的视角来审视知识图谱\(G_x\)和\(G_y\)的对齐，可以看做是将\(G_x\)中的实体\(x\)和其在\(G_y\)中的对齐实体\(y\)的距离拉近（先假设已获得对齐实体），而将\(x\)和\(\mathcal{G}_y\)中其它实体的距离推远，如下图中左半部分：
这里采用NCE损失来做实体对齐。令\(p_x\)，\(p_y\)为两个知识图谱\(G_x\)和\(G_y\)的表征分布，\(p_{\text{pos}}\)表示正实体对\((x,y)\in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\)的表征分布。给定对齐的实体对\((x,y)\sim p_{\text{pos}}\)，负样本集合\(\left\{y_i^{-} \in \mathbb{R}^n\right \}_{i=1}^M \stackrel{\text { i.i.d. }}{\sim} p_y\)，温度\(\tau\)，满足\(\lVert f(\cdot)\rVert=1\)的编码器\(f\)，我们有NCE损失为：
然而，上面的NCE损失还是需要实现知道已对齐的实体，称不上完全的无监督对齐。作者在文中证明了，对于固定的\(\tau\)和满足\(\lVert f(\cdot)\rVert=1\)的编码器\(f\)，我们可以为原始的优化目标函数\(\mathcal{L}_{ASM}\)（即NCE）找一个代理上界做为替代：
这里上界等于\(\mathcal{L}_{\text{RSM}}\)加一个常数（\(f(x)^Tf(y)\approx 1\)），因此可以直接优化\(\mathcal{L}_{\text{RSM}}\)。这样我们就可以不用去拉近正样本间的距离，只需要推远负样本间的距离就行了。
在具体的负样本采样上，作者采用了self-negative sampling方式。传统的label-aware counterpart negative sampling（上图的左半部分）给定\(x\in\text{KG}_x\)，需要从\(KG_y\)中采负样本\(y_i^-\)来将其距离推远。而这里的Self-negative Sampling（上图的右半部分）只需要从\(KG_x\)从采负样本\(x_i^-\)来将其距离推远即可。接下来我们看为什么可以这么做。
设\({\{x_i^-\in \mathbb{R}^n\}}_{i=1}^M\)与\({\{y_i^-\in \mathbb{R}^n\}}_{i=1}^M\)分别为从分布\(p_x\)和\(p_y\)中独立同分布采样的随机样本，\(S^{d-1}\)为\(\mathbb{R}^n\)中的球面，如果存在映射\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow S^{d-1}\)能够将\(\mathbb{R}^N\)中的样本映射到球面上，使得\(f(x_i^-)\)和\(f(y_i^-)\)在\(S^{d-1}\)上满足相同的分布，那么我们有：
这就启发我们在两个知识图谱共享相似的分布、且负样本数量\(M\)充分大的情况下，self-negative sampling 可以看做是 Lable-aware sampling的近似，也即用\(\mathcal{L}_{\mathrm{RSM} \mid \lambda, \mathrm{x}}\left(f ; \tau, M, p_{\mathrm{x}}\right)\)来代替\(\mathcal{L}_{\mathrm{RSM} \mid \lambda, \mathrm{x}}\left(f ; \tau, M, p_{\mathrm{y}}\right)\)。
最后，我们可以联合优化\(G_x\)和\(G_y\)的损失函数，如下所示：
在优化该目标函数的过程中，需要不断对负样本对进行采样，这里为知识图谱\(G_x\)和知识图谱\(G_y\)分别维护了一个负样本队列。整个训练过程如下图所示：
