在上一篇博客《图数据挖掘：网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模，该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的，主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策，需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的传播模型，这种模型基于对数据的观测来构建，不过不能对因果性进行建模。
接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型，它是分支过程（branching processes）的一种变种。在这种模型中，一个病人可能接触\(d\)个其他人，对他们中的每一个都有概率\(q>0\)将其传染，如下图所示：
接下来我们来看当\(d\)和\(q\)取何值时，流行病最终会消失（die out），也即满足
这里\(p_h\)为在深度\(h\)处存在感染节点的概率（是关于\(q\)和\(d\)的函数）。如果流行病会永远流行下去，则上述极限应该\(>0\)。
\(p_h\)满足递归式：
这里\(\left(1-q \cdot p_{h-1}\right)^d\)表示在距离根节点\(h\)深度处没有感染节点的概率。
接下来我们通过对函数
进行迭代来得到\(\lim _{h \rightarrow \infty} p_h\)。我们从根节点\(x=1\)(因为\(p_1=1\))开始，依次迭代得到\(x_1=f(1), x_2=f(x_1),x_3=f(x_2)\)。事实上，该迭代最终会收敛到不动点\(f(x)=x\)，如下图所示：
不动点.png)
这里\(x\)是在深度\(h-1\)处存在感染节点的概率，\(f(x)\)是在深度为\(h\)处存在感染节点的概率，\(q\)为感染概率，\(d\)为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失，那么迭代\(f(x)\)的结果必须要趋向于\(0\)，也即不动点需要为0。而这也就意味着\(f(x)\)必须要在\(y=x\)下方，如下所示：
如何控制\(f(x)\)必须要在\(y=x\)下方呢？我们先来分析下\(f(x)\)的图像形状，我们有以下结论：
\(f(x)\)是单调的：对\(0 \leq x, q \leq 1, d>1\)，\(f'(x)=q \cdot d(1-q x)^{d-1}>0\)，故\(f(x)\)是单调的。
\(f'(x)\)是非增的：\(f'(x)=q \cdot d(1-q x)^{d-1}\)会着\(x\)减小而减小。
而\(f(x)\)低于\(y=x\)，则需要满足
综上所述，我们有结论：
这里\(R_0=q\cdot d\)表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数，我们将其称为基本再生数（reproductive number），它决定了传染病病是否会流行：
在病毒的传播中，有两个最基本的参数：
网络中的节点可以在以下四个状态（S+E+I+R）之间做转移：
状态转移图如下图所示（图中的\(Z\)表示人工免疫）：
其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数\(\beta\)和\(\delta\)控制。
在SIR模型中，节点经历S-I-R三个阶段：
事实上，该模型可用于对水痘和鼠疫的建模，也即一旦我治愈了，那我就永远不会再被感染了。
假设模型满足完美混合（即网络是完全图），则模型的动力方程为：
处于\(S\)、\(I\)、\(R\)状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：
SIS模型中节点只有S-I两个阶段，它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下：
这里我们把\(s=\frac{\beta}{\delta}\)定义为病毒的“力量”（strength）。
该模型可用于对流感的建模，也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。
同样我们假设模型满足完美混合（即网络是完全图），则模型的动力方程为：
处于\(S\)、\(I\)状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：
接下来我们考虑SIS模型中的传染阈值(epidemic threshold)\(\tau\)。对于\(SIS\)模型而言，流行阈值可以是任意的。
我们设图\(G\)的传染阈值为\(\tau\)。如果病毒的“力量”\(s=\frac{\beta}{\delta} < \tau\)（这里\(\beta\)指病毒的死亡率，\(\delta\)指病毒的出生率），则疾病的流行就不会发生（它最终会消失）。事实上，图\(G\)的传染阈值\(\tau\)可以表示为
这里\(\lambda_{1, A}\)为图\(G\)的邻接矩阵最大的特征值。这个定理看起来非常神奇，因为我们只用\(\lambda_{1,A}\)就捕捉到了整个图的属性！
以下是在AS图上，当\(s\)大于、小于或等于传染阈值\(\tau\)时的感染节点数量随时间变化图：
如果我们再考虑不同的初始感染人数，则会得到以下的感染人数变化图像：
在一个埃博拉的例子[1]中，设置如下的转换状态：
当设置\(R_0=1.5\text{-}2.0\)时，总死亡人数随时间变化如下：
[1] Gomes M F C, y Piontti A P, Rossi L, et al. Assessing the international spreading risk associated with the 2014 West African Ebola outbreak[J]. PLoS currents, 2014, 6.
[2] http://web.stanford.edu/class/cs224w/
[3] Easley D, Kleinberg J. Networks, crowds, and markets: Reasoning about a highly connected world[M]. Cambridge university press, 2010.
[4] Barabási A L. Network science[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 371(1987): 20120375.